Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa bờ AB, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (0). Từ một điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt...

Nhi NguyễnCâu a: Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp và AC + BD = CD

• Ta có AC và BD là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M, do đó OM là bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại M, tức là OM ⊥ MC và OM ⊥ MD.
• Vì OM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nửa đường tròn, nên ∠MOC = 90° và ∠MOA = 90°.
• Do đó, tứ giác ACMO có bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn, vì góc nội tiếp cùng chắn cung MA.
• Suy ra tứ giác ACMO nội tiếp.

Bây giờ, xét các tam giác đồng dạng:

• ΔMAC ∼ ΔMBD (góc chung tại M và góc đối đỉnh)
• Từ đây, ta có AC / BD = MC / MD
• Vì AC và BD là các tiếp tuyến từ A, B đến M, nên AC + BD = CD (tính chất tiếp tuyến cắt nhau).

Kết luận: Tứ giác ACMO nội tiếp và AC + BD = CD.

Câu b: Chứng minh rằng OM² = MC × MD

• Xét tam giác ΔOMC và ΔOMD, vì OM vuông góc với tiếp tuyến tại M nên ∠OMC = ∠OMD = 90°.
• Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
• OM2=MC×MDOM² = MC × MDOM2=MC×MD
• Đây là một hệ thức đặc biệt trong tam giác vuông, chứng tỏ rằng tích của hai đoạn MC và MD bằng bình phương bán kính OM.

Kết luận: OM² = MC × MD.

Câu c: Chứng minh K là trung điểm của MH

• Kẻ MH ⊥ AB tại H, cắt CB tại K.
• Xét hai tam giác ΔMHC và ΔMHB, ta có:
• 
  
• MH là đường cao chung
• ∠MHC = ∠MHB = 90°
• Do đó, MH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông MHC, nên K chính là trung điểm của MH.

Kết luận: K là trung điểm của MH.