làm giúp mình Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC $(MB

Question

làm giúp mình Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC $(MB<MC).$,Gọi D, E, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB,Chứng minh,a) Các tư giác MDEC, BDMH nội tiếp đường tròn,$b)~MH.MC=ME.MB$,c) Ba điểm H, D, E thẳng hàng

Accepted Answer

a) Xét tam giác MDC có $\displaystyle \widehat{MDC} =90^{0}( MD\bot BC)$ suy ra tam giác MDC vuông tại D

Xét tam giác MEC có $\displaystyle \widehat{MEC} =90^{0}( ME\bot AC)$ suy ra tam giác MEC vuông tại E
Do đó, $\displaystyle \vartriangle MDC;\vartriangle MEC$ cùng nội tiếp đường tròn đường kính MC suy ra 4 điểm D, M, C, E cùng thuộc đường tròn
Hay tứ giác MCDE nội tiếp

Xét tam giác MDB có $\displaystyle \widehat{MDB} =90^{0}( MD\bot BC)$ suy ra tam giác MDB vuông tại D

Xét tam giác MBH có $\displaystyle \widehat{MHB} =90^{0}( MH\bot AB)$ suy ra tam giác MBH vuông tại H
Do đó, $\displaystyle \vartriangle MDB;\vartriangle MBH$ cùng nội tiếp đường tròn đường kính MC suy ra 4 điểm B,H,D,M cùng thuộc đường tròn
Hay tứ giác BDMH nội tiếp

b: MDBH là tứ giác nội tiếp

$\hat{M B H} = \hat{M D H}$

Vì A,B,M,C cùng thuộc (O)

nên ABMC là tứ giác nội tiếp

Ta có: $\hat{M B H} + \hat{M B A} = 180^{0}$ (hai góc kề bù)

$\hat{M B A} + \hat{M C E} = 180^{0}$ (ABMC nội tiếp)

Do đó: $\hat{M B H} = \hat{M C E}$

Xét ΔMBH vuông tại H và ΔMCE vuông tại E có

$\hat{M B H} = \hat{M C E}$

Do đó: ΔMBH~ΔMCE

$\frac{M B}{M C} = \frac{M H}{M E}$

$M B \cdot M E = M H \cdot M C$

c: MDEC là tứ giác nội tiếp

$\hat{M D E} + \hat{M C E} = 180^{0}$

mà $\hat{M C E} + \hat{M B A} = 180^{0}$ (ABMC nội tiếp)

nên $\hat{M D E} = \hat{M B A}$

mà $\hat{M B A} + \hat{M B H} = 180^{0}$ (hai góc kề bù)

và $\hat{M B H} = \hat{M D H}$ (MDBH nội tiếp)

nên $\hat{M D E} + \hat{M D H} = 180^{0}$

Suy ra: H,D,E thẳng hàng