Số các giá trị nguyên x thỏa mãn [In(x^2 +1)-ln(x+21)] (81 - 3 ^ (x - 1)) >= 0 bằng bao nhiêu?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - \( x^2 + 1 > 0 \) luôn đúng với mọi \( x \). - \( x + 21 > 0 \Rightarrow x > -21 \). 2. Xét biểu thức \( \ln(x^2 + 1) - \ln(x + 21) \): - Biểu thức này có nghĩa khi \( x > -21 \). 3. Xét biểu thức \( 81 - 3^{(x-1)} \): - Biểu thức này luôn có nghĩa với mọi \( x \). 4. Biến đổi biểu thức: \[ \ln(x^2 + 1) - \ln(x + 21) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x + 21}\right) \] 5. Xét dấu của \( \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x + 21}\right) \): - \( \frac{x^2 + 1}{x + 21} > 1 \Rightarrow x^2 + 1 > x + 21 \Rightarrow x^2 - x - 20 > 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 4) > 0 \). - Vậy \( x < -4 \) hoặc \( x > 5 \). 6. Xét dấu của \( 81 - 3^{(x-1)} \): - \( 81 - 3^{(x-1)} \geq 0 \Rightarrow 3^{(x-1)} \leq 81 \Rightarrow 3^{(x-1)} \leq 3^4 \Rightarrow x - 1 \leq 4 \Rightarrow x \leq 5 \). 7. Kết hợp các điều kiện: - Từ \( x > -21 \), \( x < -4 \) hoặc \( x > 5 \), và \( x \leq 5 \), ta có: - \( x > -21 \) và \( x < -4 \) suy ra \( -21 < x < -4 \). - \( x > -21 \) và \( x > 5 \) và \( x \leq 5 \) suy ra \( x = 5 \). 8. Kiểm tra các giá trị nguyên: - \( x = -20, -19, -18, ..., -5 \) (tổng cộng 16 giá trị). - \( x = 5 \). Vậy tổng số giá trị nguyên \( x \) thỏa mãn là \( 16 + 1 = 17 \). Đáp số: 17.