Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực 1 + log_5(x ^ 2 + 1) = log_5(m * x ^ 2 + 4x + m)

Question

Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực 1 + log_5(x ^ 2 + 1) >= log_5(m * x ^ 2 + 4x + m)

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $ x^2 + 1 > 0 $ luôn luôn đúng vì $ x^2 \geq 0 $ và thêm 1 nữa thì luôn lớn hơn 0. - $ mx^2 + 4x + m > 0 $ để đảm bảo rằng biểu thức trong logarit phải dương. 2. Chuyển đổi bất phương trình về dạng dễ dàng hơn: $$ 1 + \log_5(x^2 + 1) \geq \log_5(mx^2 + 4x + m) $$ Ta có thể viết lại: $$ \log_5(5) + \log_5(x^2 + 1) \geq \log_5(mx^2 + 4x + m) $$ Sử dụng tính chất logarit: $$ \log_5(5(x^2 + 1)) \geq \log_5(mx^2 + 4x + m) $$ Điều này tương đương với: $$ 5(x^2 + 1) \geq mx^2 + 4x + m $$ 3. Rearrange the inequality: $$ 5x^2 + 5 \geq mx^2 + 4x + m $$ Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: $$ 5x^2 - mx^2 - 4x + 5 - m \geq 0 $$ Gộp các hạng tử: $$ (5 - m)x^2 - 4x + (5 - m) \geq 0 $$ 4. Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: $ 5 - m = 0 \Rightarrow m = 5 $ Thay vào bất phương trình: $$ 0 \cdot x^2 - 4x + 0 \geq 0 \Rightarrow -4x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0 $$ Điều này không đúng với mọi $ x $. - Trường hợp 2: $ 5 - m \neq 0 \Rightarrow m \neq 5 $ Bất phương trình trở thành: $$ (5 - m)x^2 - 4x + (5 - m) \geq 0 $$ Để bất phương trình này nghiệm đúng với mọi $ x $, hệ số của $ x^2 $ phải dương và biểu thức dưới dấu căn phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 (điều kiện để parabol luôn ở phía trên trục hoành): $$ 5 - m > 0 \Rightarrow m < 5 $$ Đồng thời: $$ \Delta = (-4)^2 - 4(5 - m)(5 - m) \leq 0 $$ $$ 16 - 4(5 - m)^2 \leq 0 $$ $$ 16 \leq 4(5 - m)^2 $$ $$ 4 \leq (5 - m)^2 $$ $$ 2 \leq |5 - m| $$ Điều này dẫn đến hai khả năng: $$ 5 - m \geq 2 \quad \text{hoặc} \quad 5 - m \leq -2 $$ $$ m \leq 3 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 7 $$ Kết hợp với điều kiện $ m < 5 $, ta có: $$ m \leq 3 $$ Vậy, giá trị của $ m $ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực là: $$ m \leq 3 $$