vẽ hình cho e Câu 17. (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định không đi qua O, lấy điểm A,trên cung lớn BC. Gọi AD,BE,CF là ba đường cao cắt nhau tại H,$(D\in BC;E\in AC;F\in AB))$,a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.,b) Chứng minh $BH.BE+CH.CF=BC^2$

Question

vẽ hình cho e  Câu 17. (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định không đi qua O, lấy điểm A,trên cung lớn BC. Gọi AD,BE,CF là ba đường cao cắt nhau tại H,$(D\in BC;E\in AC;F\in AB))$,a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.,b) Chứng minh $BH.BE+CH.CF=BC^2$

Accepted Answer

Câu 17:

a) Xét đường tròn đường kính $A H$ :
Có $A D$ là đường cao nên $\angle A E H=90^{\circ}$ và $\angle A F H=90^{\circ}$.
Suy ra $E$ và $F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $A H$.
Tứ giác $A E H F$ nội tiếp đường tròn đường kính $A H$.

b) Xét $ riangle B D H$ và $ riangle B E C$ có:

$$
\begin{aligned}
& \widehat{B D H}=\widehat{B E C}=90^{\circ} ; \widehat{D B H} ext { chung } \
& ightarrow riangle B D H \backsim riangle B E C(G-G) \
& ightarrow \frac{B D}{B E}=\frac{B H}{B C} \
& ightarrow B H \cdot B E=B D \cdot B C
\end{aligned}
$$
Ta có: $C H . C F=C D . B C$

$ightarrow B H \cdot B E+C H \cdot C F=B C \cdot(B D+C D)=B C \cdot B C=B C^2$