giúp mình với ạ Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot(ABCD),SA=a\sqrt3,$ ABCD là hình vuông cạnh bằng a .,a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.,b) Tính $d(A,(SBC))$,c) Gọi M là trung điểm SA. Khi đó: $d(M,(SBC))$,d) Tính $d(BD,SC)$,e) Tính $d(SB,CD)$,f) Tính $(SD,BC)$,g) Tính $((SBD),(ABCD)).$,h) Tính $(SC,(ABCD)).$,i) Tính $(SC,(SAB)).$,k) Tính $(SA,(SBD)).$

Question

Accepted Answer

a, Thể tích khối chóp S.ABCD là:
$\displaystyle V=\frac{1}{3} .SA.S_{ABCD} =\frac{1}{3} .a\sqrt{3} .a^{2} =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
b, Kẻ $\displaystyle AH\bot SB\ ( H\in SB)$
Ta có: $\displaystyle SA\bot ( ABCD) \Longrightarrow SA\bot BC$
Vì ABCD là hình vuông nên $\displaystyle BC\bot AB$
Do đó $\displaystyle BC\bot ( SAB) \Longrightarrow BC\bot AH$
Mà $\displaystyle AH\bot SB$
Do đó $\displaystyle AH\bot ( SBC)$
$\displaystyle \vartriangle SAB$ vuông tại A có: AH là đường cao
Theo hệ thức lượng ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{SA^{2}} =\frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{\left( a\sqrt{3} ight)^{2}} =\frac{4}{3a^{2}}\
\Longrightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}
\end{array}$
c, Vì M là trung điểm của SA nên $\displaystyle SM=\frac{1}{2} SA$
$\displaystyle \Longrightarrow d( M,( SBC)) =\frac{1}{2} d( A,( SBC)) =\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{a\sqrt{3}}{4}$
d, Kẻ $\displaystyle AK\bot SC\ ( K\in SC)$
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình vuông nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\displaystyle \Longrightarrow $O là trung điểm của AC
Vì ABCD là hình vuông nên $\displaystyle AC\bot BD\Longrightarrow BD\bot ( SCA)$
$\displaystyle \Longrightarrow d( BD,SC) =d( O;SC) =\frac{1}{2} d( A;SC) =\frac{AK}{2}$
Ta có: $\displaystyle \frac{1}{AK^{2}} =\frac{1}{SA^{2}} +\frac{1}{AC^{2}} =\frac{1}{\left( a\sqrt{3} ight)^{2}} +\frac{1}{\left( a\sqrt{2} ight)^{2}} =\frac{5}{6a^{2}}$
$\displaystyle \Longrightarrow AK^{2} =\frac{6a^{2}}{5} =\frac{a\sqrt{30}}{5}$
e, Vì ABCD là hình vuông nên $\displaystyle AB\parallel CD$
$\displaystyle \Longrightarrow CD\parallel ( SAB) \Longrightarrow d( SB,CD) =d( CD,( SAB)) =BC=a$