ttttttttttttt ĐỀ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD),~SA=a\sqrt2.$,a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).,b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).,c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.,d) Gọi M là trung điểm của SC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBD).

Question

Accepted Answer

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $BC \perp AB$. 
Mặt khác, $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp BC$. 
Do đó, $BC \perp (SAB)$ vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $AB$ và $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$.

b) Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Ta có $SO \perp (ABCD)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $O$ là trung điểm của $AC$. 
Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc $SCO$. 
Trong tam giác vuông $SOC$, ta có:
$$ SO = SA \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a $$
$$ OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} $$
$$ \tan(\angle SCO) = \frac{SO}{OC} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} $$
Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\arctan(\sqrt{2})$.

c) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$$ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} $$

d) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $M$ xuống $(SBD)$. Ta có $MH$ là khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SBD)$. 
Diện tích $(SBD)$ là:
$$ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SO = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} $$
Diện tích $(SMB)$ là:
$$ S_{SMB} = \frac{1}{2} \times SB \times MH $$
Trong tam giác $SBC$, ta có:
$$ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = a\sqrt{3} $$
Diện tích $(SMB)$ cũng có thể tính qua diện tích $(SBC)$:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} $$
$$ S_{SMB} = \frac{1}{2} \times S_{SBC} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$
Từ đó:
$$ \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times MH $$
$$ MH = \frac{a}{2} $$

Đáp số:
a) $BC \perp (SAB)$
b) $\arctan(\sqrt{2})$
c) $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$
d) $\frac{a}{2}$