giúp mình với ĐE BAI,Câu 1: Tính ( bằng định nghĩa ) đạo hàm cuả các,hàm số sau :,$a,~y=3x+5$ tai $x_0=4$,$b,~y=3x^2+2$ tại $x_0=3$,$c.~y=kx^2+2x$,Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến cuả hàm số,$y=ax^2-x$ tại $x_0=3$ ( với a là tháng sinh )

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tính đạo hàm của các hàm số bằng định nghĩa, ta sử dụng công thức:
$$ y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$

a) Tính đạo hàm của hàm số $ y = 3x + 5 $ tại $ x_0 = 4 $

Bước 1: Xác định $ f(x) $:
$$ f(x) = 3x + 5 $$

Bước 2: Tính $ f(x + \Delta x) $:
$$ f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x) + 5 = 3x + 3\Delta x + 5 $$

Bước 3: Tính $ f(x + \Delta x) - f(x) $:
$$ f(x + \Delta x) - f(x) = (3x + 3\Delta x + 5) - (3x + 5) = 3\Delta x $$

Bước 4: Tính đạo hàm theo định nghĩa:
$$ y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 3 = 3 $$

Vậy đạo hàm của hàm số $ y = 3x + 5 $ tại $ x_0 = 4 $ là 3.

b) Tính đạo hàm của hàm số $ y = 3x^2 + 2 $ tại $ x_0 = 3 $

Bước 1: Xác định $ f(x) $:
$$ f(x) = 3x^2 + 2 $$

Bước 2: Tính $ f(x + \Delta x) $:
$$ f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^2 + 2 = 3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 2 = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 2 $$

Bước 3: Tính $ f(x + \Delta x) - f(x) $:
$$ f(x + \Delta x) - f(x) = (3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 2) - (3x^2 + 2) = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 $$

Bước 4: Tính đạo hàm theo định nghĩa:
$$ y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x) = 6x $$

Vậy đạo hàm của hàm số $ y = 3x^2 + 2 $ tại $ x_0 = 3 $ là:
$$ y'(3) = 6 \cdot 3 = 18 $$

c) Tính đạo hàm của hàm số $ y = kx^2 + 2x $

Bước 1: Xác định $ f(x) $:
$$ f(x) = kx^2 + 2x $$

Bước 2: Tính $ f(x + \Delta x) $:
$$ f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x)^2 + 2(x + \Delta x) = k(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 2x + 2\Delta x = kx^2 + 2kx\Delta x + k(\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x $$

Bước 3: Tính $ f(x + \Delta x) - f(x) $:
$$ f(x + \Delta x) - f(x) = (kx^2 + 2kx\Delta x + k(\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x) - (kx^2 + 2x) = 2kx\Delta x + k(\Delta x)^2 + 2\Delta x $$

Bước 4: Tính đạo hàm theo định nghĩa:
$$ y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2kx\Delta x + k(\Delta x)^2 + 2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2kx + k\Delta x + 2) = 2kx + 2 $$

Vậy đạo hàm của hàm số $ y = kx^2 + 2x $ là:
$$ y' = 2kx + 2 $$

Câu 2:
Đầu tiên, ta xác định giá trị của $a$ dựa trên tháng sinh. Giả sử tháng sinh là 10, vậy $a = 10$.

Hàm số đã cho là:
$$ y = 10x^2 - x $$

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
$$ y' = \frac{d}{dx}(10x^2 - x) = 20x - 1 $$

Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x_0 = 3$.
$$ y'(3) = 20(3) - 1 = 60 - 1 = 59 $$

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại điểm $x_0 = 3$.
$$ y(3) = 10(3)^2 - 3 = 10 \cdot 9 - 3 = 90 - 3 = 87 $$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm $x_0 = 3$. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$ y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0) $$
Thay các giá trị vào:
$$ y = 59(x - 3) + 87 $$
$$ y = 59x - 177 + 87 $$
$$ y = 59x - 90 $$

Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số $y = 10x^2 - x$ tại điểm $x_0 = 3$ là:
$$ y = 59x - 90 $$