Giúp mình với! 1. Chứng minh rằng $B=3.10^{100}+10^{99}+8$ chia hết cho 24 .,2. Tìm số nguyên tố p sao cho $p+2,p+4$ là số nguyên tố.

Question

Accepted Answer

a)

Xét số:
$\displaystyle b = 3 imes 10^{100} + 10^{99} + 8$

Ta có thể viết:
$\displaystyle b = 3 imes 10^{100} + \underbrace{99\ldots9}_{99 ext{ chữ số 9}} + 9 - 1$

Và:
$\displaystyle b = 3 imes 10^{100} + 10^{99} - 1 + 8$

Xét tính chia hết:
1. Chia hết cho 3:
$\displaystyle 3 imes 10^{100} \vdots 3$
$\displaystyle 10^{99} + 8 \equiv 1^{99} + 2 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$
Suy ra $b \vdots 3$

2. Chia hết cho 8:
$\displaystyle 3 imes 10^{100} + 10^{99} + 8 \equiv 0 + 0 + 0 \equiv 0 \pmod{8}$
(vì $10^n \equiv 0 \pmod{8}$ với $n \geq 3$)

Vì $b$ đồng thời chia hết cho 3 và 8, mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau:
$\displaystyle 3 imes 8 = 24$
Suy ra $b \vdots 24$

b)

Số p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k+1; 3k+2 với k∈ $\in$ N*

+ Với p = 3k thì p = 3 ( vì p là số nguyên tố), khi đó p+2 = 5; p+4 = 7 đều là các số nguyên tố.

+ Với p =3k+1 thì p = 3k+3 chia hết cho 2 và lớn hơn 3 nên p+2 là hợp số, trái với đề bài.

+ Với p = 3k+2 thì p+4 = 3k+6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p+4 là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p=3 là giá trị duy nhất phải tìm.