Giải hộ ạ plssss Câu 4. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x-1}{3x},$ trục hoành và hai đường thẳng,$x=-4,~x=-1.$ Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ?,A. Diện tích hình phẳng (H) là $S=1+\ln4.$,B. Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=f(x);y=\frac13;x=1;x=2$ quanh trục Ox là $V=\pi(\frac ab\ln a-\frac1c)$ biết $a,b,c\in\mathbb N^*,\frac ab$ tối giản thì $a+b+c=39.$,C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x);y=1;x=1;x=5$ là $S=\frac{8+\ln4}3.$,D. Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=f(x);y=0;x=1;x=4$ quanh trục Ox là $V=\pi(\frac5{12}+\ln4).$

Question

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một.

Mệnh đề A:
Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x-1}{3x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -4$, $x = -1$.

Diện tích hình phẳng (H) được tính bằng tích phân:
$$ S = \int_{-4}^{-1} \left| \frac{x-1}{3x} \right| \, dx $$

Tính tích phân:
$$ S = \int_{-4}^{-1} \left( \frac{x-1}{3x} \right) \, dx = \int_{-4}^{-1} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3x} \right) \, dx $$
$$ S = \left[ \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \ln |x| \right]_{-4}^{-1} $$
$$ S = \left( \frac{-1}{3} - \frac{1}{3} \ln 1 \right) - \left( \frac{-4}{3} - \frac{1}{3} \ln 4 \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{3} - 0 \right) - \left( -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} \ln 4 \right) $$
$$ S = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \ln 4 $$
$$ S = 1 + \frac{1}{3} \ln 4 $$

Mệnh đề A sai vì diện tích là $1 + \frac{1}{3} \ln 4$, không phải $1 + \ln 4$.

Mệnh đề B:
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, $y = \frac{1}{3}$, $x = 1$, $x = 2$ quanh trục Ox.

Thể tích vật thể tròn xoay được tính bằng công thức:
$$ V = \pi \int_{1}^{2} \left( \left( \frac{x-1}{3x} \right)^2 - \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right) \, dx $$

Tính tích phân:
$$ V = \pi \int_{1}^{2} \left( \frac{(x-1)^2}{9x^2} - \frac{1}{9} \right) \, dx $$
$$ V = \pi \int_{1}^{2} \left( \frac{x^2 - 2x + 1}{9x^2} - \frac{1}{9} \right) \, dx $$
$$ V = \pi \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{9} - \frac{2}{9x} + \frac{1}{9x^2} - \frac{1}{9} \right) \, dx $$
$$ V = \pi \int_{1}^{2} \left( -\frac{2}{9x} + \frac{1}{9x^2} \right) \, dx $$
$$ V = \pi \left[ -\frac{2}{9} \ln |x| - \frac{1}{9x} \right]_{1}^{2} $$
$$ V = \pi \left( -\frac{2}{9} \ln 2 - \frac{1}{18} + \frac{2}{9} \ln 1 + \frac{1}{9} \right) $$
$$ V = \pi \left( -\frac{2}{9} \ln 2 - \frac{1}{18} + 0 + \frac{1}{9} \right) $$
$$ V = \pi \left( -\frac{2}{9} \ln 2 + \frac{1}{18} \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{1}{18} - \frac{2}{9} \ln 2 \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{1}{18} - \frac{4}{18} \ln 2 \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{1 - 4 \ln 2}{18} \right) $$

Mệnh đề B sai vì thể tích không đúng theo yêu cầu.

Mệnh đề C:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, $y = 1$, $x = 1$, $x = 5$.

Diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân:
$$ S = \int_{1}^{5} \left| \frac{x-1}{3x} - 1 \right| \, dx $$

Tính tích phân:
$$ S = \int_{1}^{5} \left| \frac{x-1}{3x} - 1 \right| \, dx = \int_{1}^{5} \left| \frac{x-1 - 3x}{3x} \right| \, dx $$
$$ S = \int_{1}^{5} \left| \frac{-2x-1}{3x} \right| \, dx = \int_{1}^{5} \left( \frac{2x+1}{3x} \right) \, dx $$
$$ S = \int_{1}^{5} \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3x} \right) \, dx $$
$$ S = \left[ \frac{2x}{3} + \frac{1}{3} \ln |x| \right]_{1}^{5} $$
$$ S = \left( \frac{10}{3} + \frac{1}{3} \ln 5 \right) - \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \ln 1 \right) $$
$$ S = \left( \frac{10}{3} + \frac{1}{3} \ln 5 \right) - \left( \frac{2}{3} + 0 \right) $$
$$ S = \frac{10}{3} + \frac{1}{3} \ln 5 - \frac{2}{3} $$
$$ S = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \ln 5 $$

Mệnh đề C sai vì diện tích là $\frac{8}{3} + \frac{1}{3} \ln 5$, không phải $\frac{8 + \ln 4}{3}$.

Mệnh đề D:
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 4$ quanh trục Ox.

Thể tích vật thể tròn xoay được tính bằng công thức:
$$ V = \pi \int_{1}^{4} \left( \frac{x-1}{3x} \right)^2 \, dx $$

Tính tích phân:
$$ V = \pi \int_{1}^{4} \left( \frac{(x-1)^2}{9x^2} \right) \, dx $$
$$ V = \pi \int_{1}^{4} \left( \frac{x^2 - 2x + 1}{9x^2} \right) \, dx $$
$$ V = \pi \int_{1}^{4} \left( \frac{1}{9} - \frac{2}{9x} + \frac{1}{9x^2} \right) \, dx $$
$$ V = \pi \left[ \frac{x}{9} - \frac{2}{9} \ln |x| - \frac{1}{9x} \right]_{1}^{4} $$
$$ V = \pi \left( \frac{4}{9} - \frac{2}{9} \ln 4 - \frac{1}{36} - \left( \frac{1}{9} - \frac{2}{9} \ln 1 - \frac{1}{9} \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{4}{9} - \frac{2}{9} \ln 4 - \frac{1}{36} - \left( \frac{1}{9} - 0 - \frac{1}{9} \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{4}{9} - \frac{2}{9} \ln 4 - \frac{1}{36} \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{16}{36} - \frac{8}{36} \ln 4 - \frac{1}{36} \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{15}{36} - \frac{8}{36} \ln 4 \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{5}{12} - \frac{2}{9} \ln 4 \right) $$

Mệnh đề D đúng vì thể tích là $\pi \left( \frac{5}{12} - \frac{2}{9} \ln 4 \right)$.

Kết luận:
- Mệnh đề A sai.
- Mệnh đề B sai.
- Mệnh đề C sai.
- Mệnh đề D đúng.