Giúp mình với! . Cho các số a, b, c thỏa mãn al $abc=1$ và $a+b+c=\frac1a+\frac1b+\frac1c.$ Tính giá trị của biểu,thức $M=(a^{2024}-1)(b^{2024}-1)(c^{2024}-1)$

Question

Accepted Answer

Ta có:
$$ abc = 1 $$
$$ a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với $abc$:
$$ (a + b + c) \cdot abc = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \cdot abc $$

Phát triển:
$$ a^2bc + ab^2c + abc^2 = bc + ac + ab $$

Do $abc = 1$, ta thay vào:
$$ a^2 \cdot 1 + b^2 \cdot 1 + c^2 \cdot 1 = bc + ac + ab $$
$$ a^2 + b^2 + c^2 = bc + ac + ab $$

Ta thấy rằng:
$$ a^2 + b^2 + c^2 - bc - ac - ab = 0 $$

Nhóm lại:
$$ \frac{1}{2} \left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2bc - 2ac - 2ab \right) = 0 $$
$$ \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) = 0 $$

Vì tổng của các bình phương bằng 0, nên mỗi bình phương phải bằng 0:
$$ (a-b)^2 = 0 $$
$$ (b-c)^2 = 0 $$
$$ (c-a)^2 = 0 $$

Từ đó suy ra:
$$ a = b = c $$

Vì $abc = 1$, ta có:
$$ a^3 = 1 $$
$$ a = 1 $$

Do đó:
$$ a = b = c = 1 $$

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức $ M $:
$$ M = (a^{2024} - 1)(b^{2024} - 1)(c^{2024} - 1) $$

Thay $ a = b = c = 1 $:
$$ M = (1^{2024} - 1)(1^{2024} - 1)(1^{2024} - 1) $$
$$ M = (1 - 1)(1 - 1)(1 - 1) $$
$$ M = 0 \times 0 \times 0 $$
$$ M = 0 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ M $ là:
$$ \boxed{0} $$