giúp với ạ Câu 9: Cho hàm số $f(x).$ Biết $f(0)=4$ và $f^\prime(x)=2\sin^2x+1,~\forall x\in\mathbb R,$ khi đó $\int^{\frac\pi4}_0f(x)dx$ bằng,$A.~\frac{\pi^2+16\pi-4}{16}.$ $B.~\frac{\pi^2-4}{16}.$ $C.~\frac{\pi^2+15\pi}{16}.$ $D.~\frac{\pi^2+16\pi-16}{16}.$

Question

Accepted Answer

Câu 9:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm số $ f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) $.
2. Tính tích phân $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx $.

Bước 1: Tìm hàm số $ f(x) $

Biết rằng $ f'(x) = 2 \sin^2 x + 1 $.

Ta có:
$$ f(x) = \int (2 \sin^2 x + 1) \, dx $$

Sử dụng công thức hạ bậc $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:
$$ 2 \sin^2 x = 2 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) = 1 - \cos 2x $$

Do đó:
$$ f(x) = \int (1 - \cos 2x + 1) \, dx = \int (2 - \cos 2x) \, dx $$
$$ f(x) = 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + C $$

Biết rằng $ f(0) = 4 $:
$$ f(0) = 2(0) - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 0) + C = 4 $$
$$ 0 - 0 + C = 4 $$
$$ C = 4 $$

Vậy hàm số $ f(x) $ là:
$$ f(x) = 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + 4 $$

Bước 2: Tính tích phân $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx $

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + 4 \right) \, dx $$

Tính từng phần:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left[ x^2 \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - 0 = \frac{\pi^2}{16} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\frac{1}{2} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{4} \left[ \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{4} \left( \cos \frac{\pi}{2} - \cos 0 \right) = \frac{1}{4} (0 - 1) = -\frac{1}{4} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 4 \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi $$

Gộp lại:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{4} + \pi = \frac{\pi^2}{16} + \pi - \frac{1}{4} = \frac{\pi^2 + 16\pi - 4}{16} $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{A.\frac{\pi^2 + 16\pi - 4}{16}} $$