giải giúp mình i thuôc lá.,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(3;1;-1),~B(4;-1;2),~C(1;3;-2)$ và mặt phẳng,$(\alpha):~4x+2y-z-12=0.$,a) Đường thẳng BC không nằm trong mặt phẳng $(\alpha).$,b) Mặt cầu tâm $I(-4;4;-1),$ tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng $\frac{26}{\sqrt5}.$,c) Đường thẳng AB có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}lx=4+t\y=-1-2t.\z=2-3t\end{array} ight.$,d) Với điểm $M\in(\alpha)$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}|$ bằng $\frac3{\sqrt{21}}.$,$C_1O(0;0)$,HẦN IIITTT nh tt lời tt câu 1đđn cuu 6. $x^2+y^2=5\Rightarrow y=\sqrt{25-x^2}$

Question

giải giúp mình i thuôc lá.,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(3;1;-1),~B(4;-1;2),~C(1;3;-2)$ và mặt phẳng,$(\alpha):~4x+2y-z-12=0.$,a) Đường thẳng BC không nằm trong mặt phẳng $(\alpha).$,b) Mặt cầu tâm $I(-4;4;-1),$ tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng $\frac{26}{\sqrt5}.$,c) Đường thẳng AB có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}lx=4+t\y=-1-2t.\z=2-3t\end{array}ight.$,d) Với điểm $M\in(\alpha)$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}|$ bằng $\frac3{\sqrt{21}}.$,$C_1O(0;0)$,HẦN IIITTT   nh tt  lời tt câu  1đđn cuu 6. $x^2+y^2=5\Rightarrow y=\sqrt{25-x^2}$

Accepted Answer

Câu 4.
a) Ta có:
- Điểm B(4; -1; 2) thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ vì thay tọa độ của B vào phương trình $(\alpha)$ ta có: $4 \times 4 + 2 \times (-1) - 2 - 12 = 0$.
- Điểm C(1; 3; -2) không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ vì thay tọa độ của C vào phương trình $(\alpha)$ ta có: $4 \times 1 + 2 \times 3 - (-2) - 12 = 0$.

Do đó, đường thẳng BC không nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$.

b) Mặt phẳng (ABC) có phương trình là $x + 2y + z - 4 = 0$. Mặt cầu tâm $I(-4; 4; -1)$ tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (ABC).

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (ABC) là:
$$ d = \frac{|-4 + 2 \times 4 - 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-4 + 8 - 1 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} $$

c) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB} = (4 - 3, -1 - 1, 2 + 1) = (1, -2, 3)$. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
$$ \left\{
\begin{array}{l}
x = 3 + t \
y = 1 - 2t \
z = -1 + 3t
\end{array}
\right. $$

d) Ta có:
$$ |\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}| = |(M - A) - 4(M - B) - 3(M - C)| = |M - A - 4M + 4B - 3M + 3C| = |-6M + 4B + 3C - A| = |6M - (4B + 3C - A)| $$

Gọi $D = 4B + 3C - A$, ta có:
$$ D = 4(4, -1, 2) + 3(1, 3, -2) - (3, 1, -1) = (16, -4, 8) + (3, 9, -6) - (3, 1, -1) = (16 + 3 - 3, -4 + 9 - 1, 8 - 6 + 1) = (16, 4, 3) $$

Khoảng cách từ điểm M trên mặt phẳng $(\alpha)$ đến điểm D là:
$$ d = \frac{|4x + 2y - z - 12|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4x + 2y - z - 12|}{\sqrt{21}} $$

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}|$ bằng $\frac{3}{\sqrt{21}}$.

Đáp án đúng là: d) Với điểm $M \in (\alpha)$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}|$ bằng $\frac{3}{\sqrt{21}}$.