Câu 3.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định tính đúng sai của chúng.
a) Góc nhị diện [S, AD, B] là một góc nhị diện vuông.
- Vì và , nên đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cũng nằm trong mặt phẳng . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc giữa hai đường thẳng và khi chiếu lên mặt phẳng . Vì vuông góc với cả và , góc nhị diện [S, AD, B] là góc vuông.
b) .
- Vì và , đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng và . Do đó, vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng và . Vì nằm trong , vuông góc với .
c) .
- Vì và , đường thẳng nằm trong mặt phẳng . Mặt khác, là đỉnh chung của cả hai mặt phẳng và . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc giữa hai đường thẳng và khi chiếu lên mặt phẳng . Vì vuông góc với (do là hình chữ nhật), góc giữa hai mặt phẳng và là góc vuông.
d) Hình chóp S.ABCD có tất cả 2 mặt bên là tam giác vuông.
- Các mặt bên của hình chóp S.ABCD bao gồm các tam giác SAB, SAD, SBC, và SCD. Vì và , các tam giác SAB và SAD đều là tam giác vuông tại A. Các tam giác SBC và SCD cũng là tam giác vuông tại B và C tương ứng vì là hình chữ nhật và . Do đó, tất cả các mặt bên của hình chóp S.ABCD đều là tam giác vuông.
Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Đáp án: a, b, c, d
Câu 4.
a) Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với AD và AB. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SAB) là góc giữa hai đường thẳng AD và AB, tức là góc vuông 90°.
b) Ta có SB vuông góc với AB vì SA vuông góc với đáy ABCD và AB nằm trong đáy. Mặt khác, BC vuông góc với AB vì ABCD là hình vuông. Do đó, AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC), và SB, BC đều vuông góc với AB. Điều này chứng tỏ (SAB) vuông góc với (SBC).
c) Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với BD. Mặt khác, AC vuông góc với BD vì ABCD là hình vuông. Do đó, BD là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), và SA, AC đều vuông góc với BD. Điều này chứng tỏ (SBD) vuông góc với (ABCD).
d) Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với AD và CD. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) là góc giữa hai đường thẳng CD và AD, tức là góc vuông 90°.
Đáp án đúng là: a, b, c, d.
Câu 5.
a) Độ dài đoạn thẳng :
- Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 2a, ta có AC' là đường chéo không gian của hình lập phương.
- Độ dài đường chéo không gian của hình lập phương cạnh 2a là .
- Vậy .
b) :
- Ta thấy rằng mặt phẳng chứa hai đường thẳng AC và AA', trong đó AA' vuông góc với mặt đáy ABCD.
- Mặt phẳng chứa hai đường thẳng BD và BB', trong đó BB' vuông góc với mặt đáy ABCD.
- Vì AA' và BB' đều vuông góc với mặt đáy ABCD, nên .
c) Góc nhị diện bằng :
- Ta xét góc giữa hai mặt phẳng và .
- Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có CO vuông góc với BD và C'O vuông góc với BD.
- Góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng CO và C'O.
- Ta có , vì CO = C'O và CC' = 2a, tạo thành tam giác đều.
- Vậy góc nhị diện bằng .
d) :
- Ta thấy rằng mặt phẳng chứa hai đường thẳng BD và C'D, trong đó C'D vuông góc với mặt đáy ABCD.
- Vì C'D vuông góc với mặt đáy ABCD, nên .
Đáp số:
a)
b)
c) Góc nhị diện bằng
d)
Câu 6.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định điều kiện nào đúng.
a)
- Vì , nên .
- Tam giác là tam giác vuông cân tại , do đó là đường chéo của hình vuông (nếu kéo dài và tạo thành hình vuông).
- Do đó, .
Từ hai điều trên, ta thấy vuông góc với cả và , tức là . Vậy lựa chọn a) đúng.
b) Góc giữa và mặt phẳng bằng
- nằm trong mặt phẳng và , do đó .
- nằm trong mặt phẳng và (vì là tam giác vuông cân tại ).
Do đó, góc giữa và mặt phẳng không phải là . Vậy lựa chọn b) sai.
c) góc giữa và mặt phẳng bằng
- , do đó là chiều cao hạ từ xuống mặt phẳng .
- , , và là chiều cao hạ từ xuống .
Trong tam giác vuông :
Góc giữa và mặt phẳng là góc giữa và :
Vậy lựa chọn c) đúng.
d) góc giữa và mặt phẳng bằng
- , do đó .
- , , và .
Trong tam giác vuông :
Góc giữa và mặt phẳng là góc giữa và :
Vậy lựa chọn d) sai.
Kết luận:
Lựa chọn đúng là:
a)
c) góc giữa và mặt phẳng bằng
Đáp án: a) và c)
Câu 7.
a) Ta có nên . Mặt khác là hình chữ nhật nên . Từ đó ta suy ra , do đó .
b) Vì nên .
c) Ta có , mặt khác là hình chữ nhật nên . Từ đó ta suy ra , do đó . Vậy là đường vuông góc chung của hai đường thẳng .
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . Ta có nên . Mặt khác là hình chữ nhật nên . Từ đó ta suy ra , do đó .