giải giúp mk Câu hỏi 18,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên,tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn,$+)~f(x)

Question

giải giúp mk Câu hỏi 18,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên,tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn,$+)~f(x)<0,~\forall x\in\mathbb R,$,$+)f^\prime(x)=f(x),\forall x\in\mathbb R,$,$+)|f(3)|=1.$,Biết rằng,$\int^5_2f(x)dx=e^a-e^b.$,Tính tổng $a+b.$,Đáp án:

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số $ f(x) $:
   - Ta biết rằng $ f'(x) = f(x) $. Điều này cho thấy $ f(x) $ là một hàm số mũ, cụ thể là $ f(x) = Ce^x $ với $ C $ là hằng số.
   - Vì $ f(x) < 0 $ cho mọi $ x \in \mathbb{R} $, nên $ C $ phải là một hằng số âm. Gọi $ C = -k $ với $ k > 0 $, ta có $ f(x) = -ke^x $.

2. Xác định giá trị của $ k $:
   - Ta biết rằng $ |f(3)| = 1 $. Thay $ x = 3 $ vào $ f(x) = -ke^x $, ta có:
     $$
     |f(3)| = |-ke^3| = ke^3 = 1 \implies k = e^{-3}
     $$
   - Vậy $ f(x) = -e^{-3}e^x = -e^{x-3} $.

3. Tính tích phân $ \int_2^5 f(x) \, dx $:
   - Thay $ f(x) = -e^{x-3} $ vào tích phân, ta có:
     $$
     \int_2^5 f(x) \, dx = \int_2^5 -e^{x-3} \, dx
     $$
   - Đặt $ u = x - 3 $, thì $ du = dx $ và khi $ x = 2 $, $ u = -1 $; khi $ x = 5 $, $ u = 2 $. Do đó:
     $$
     \int_2^5 -e^{x-3} \, dx = -\int_{-1}^2 e^u \, du = -[e^u]_{-1}^2 = -(e^2 - e^{-1}) = -e^2 + e^{-1}
     $$

4. So sánh với $ e^a - e^b $:
   - Ta có $ \int_2^5 f(x) \, dx = -e^2 + e^{-1} $. Để so sánh với $ e^a - e^b $, ta nhận thấy rằng:
     $$
     -e^2 + e^{-1} = e^{-1} - e^2
     $$
   - Do đó, ta có $ a = -1 $ và $ b = 2 $.

5. Tính tổng $ a + b $:
   - Tổng $ a + b = -1 + 2 = 1 $.

Vậy đáp án là $ a + b = 1 $.

Đáp số: 1