Giải dễ hiểu hộ đi Câu 11. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua,hai điểm $A(3;-1;2),~B(1;1;-2)$ và có tâm thuộc trục $Oz$ là,$A.~x^2+y^2+(z+1)^2=11.$ $B.~x^2+y^2+(z-1)^2=11.$,$C.~x^2+y^2+(z+2)^2=11.$ $D.~x^2+y^2+(z-1)^2=12.$,$I(0;0;1)$,Ai ghib lên

Question

Accepted Answer

Câu 11.
Trước tiên, ta cần xác định tâm của mặt cầu. Vì tâm của mặt cầu thuộc trục Oz, nên tọa độ tâm của mặt cầu sẽ có dạng $ I(0, 0, z_0) $.

Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ tâm $ I $ đến các điểm $ A $ và $ B $. Vì mặt cầu đi qua cả hai điểm này, nên khoảng cách từ tâm đến mỗi điểm sẽ bằng bán kính của mặt cầu.

Khoảng cách từ $ I $ đến $ A $:
$$ IA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 0)^2 + (2 - z_0)^2} = \sqrt{9 + 1 + (2 - z_0)^2} = \sqrt{10 + (2 - z_0)^2} $$

Khoảng cách từ $ I $ đến $ B $:
$$ IB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (-2 - z_0)^2} = \sqrt{1 + 1 + (-2 - z_0)^2} = \sqrt{2 + (-2 - z_0)^2} $$

Vì $ IA = IB $, ta có:
$$ \sqrt{10 + (2 - z_0)^2} = \sqrt{2 + (-2 - z_0)^2} $$

Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:
$$ 10 + (2 - z_0)^2 = 2 + (-2 - z_0)^2 $$

Mở rộng các bình phương:
$$ 10 + (4 - 4z_0 + z_0^2) = 2 + (4 + 4z_0 + z_0^2) $$
$$ 10 + 4 - 4z_0 + z_0^2 = 2 + 4 + 4z_0 + z_0^2 $$
$$ 14 - 4z_0 + z_0^2 = 6 + 4z_0 + z_0^2 $$

Trừ $ z_0^2 $ từ cả hai vế:
$$ 14 - 4z_0 = 6 + 4z_0 $$

Di chuyển các hạng tử liên quan đến $ z_0 $ sang một vế:
$$ 14 - 6 = 4z_0 + 4z_0 $$
$$ 8 = 8z_0 $$

Chia cả hai vế cho 8:
$$ z_0 = 1 $$

Vậy tâm của mặt cầu là $ I(0, 0, 1) $.

Bây giờ, ta tính bán kính của mặt cầu bằng cách sử dụng khoảng cách từ tâm $ I $ đến điểm $ A $:
$$ IA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} $$

Phương trình của mặt cầu có tâm $ I(0, 0, 1) $ và bán kính $ \sqrt{11} $ là:
$$ x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 11 $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ \boxed{B.~x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 11} $$