Giúp minh với Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2 điểm),Câu 1. Trong gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;-1;1),~B(1;0;4),~C(0;-2;-1).$ Mặt phẳng qua A và vuông,góc với đường thẳng BC có phương trình dạng $x+ay+bz+c=0.$ Tính giá trị biểu thức $S=a+b+c.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz ,góc giữa hai đường thẳng: $\Delta:\frac{x-3}1=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}2$ và $\Delta^\prime:\left\{\begin{array}lx=2t\y=-2+t\z=1+t\end{array} ight.$ bằng,bao nhiêu độ?,Câu 3. Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cảnh từ vị trí,$A(0;10;0)$ với vận tốc $\overrightarrow v=(150;150;30).$ Gọi $\varphi$ là góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển,động bay lên của máy bay với đường băng). Giá trị của @ bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng,đơn vị)?,Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=-1-t\y=6+2t\z=-3-2t\end{array} ight.$ và đường thẳng,$d:~\frac{x-2}{-1}=\frac y2=\frac{z-1}{-1}.$ Gọi giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và d là $M(a;b;c).$ Tính $a+b-c.$,Ts ngắn,Trang 3/4 - Mã đề 002

Question

Giúp minh với Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2 điểm),Câu 1. Trong gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;-1;1),~B(1;0;4),~C(0;-2;-1).$ Mặt phẳng qua A và vuông,góc với đường thẳng BC có phương trình dạng $x+ay+bz+c=0.$ Tính giá trị biểu thức $S=a+b+c.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz ,góc giữa hai đường thẳng: $\Delta:\frac{x-3}1=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}2$ và $\Delta^\prime:\left\{\begin{array}lx=2t\y=-2+t\z=1+t\end{array}ight.$ bằng,bao nhiêu độ?,Câu 3. Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cảnh từ vị trí,$A(0;10;0)$ với vận tốc $\overrightarrow v=(150;150;30).$ Gọi $\varphi$ là góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển,động bay lên của máy bay với đường băng). Giá trị của @ bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng,đơn vị)?,Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=-1-t\y=6+2t\z=-3-2t\end{array}ight.$ và đường thẳng,$d:~\frac{x-2}{-1}=\frac y2=\frac{z-1}{-1}.$ Gọi giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và d là $M(a;b;c).$ Tính $a+b-c.$,Ts ngắn,Trang 3/4 - Mã đề 002

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm phương trình mặt phẳng qua điểm $ A(2, -1, 1) $ và vuông góc với đường thẳng $ BC $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   - Vectơ $ \overrightarrow{BC} $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $ BC $:
     $$
     \overrightarrow{BC} = C - B = (0 - 1, -2 - 0, -1 - 4) = (-1, -2, -5)
     $$
   - Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $ BC $, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là $ \overrightarrow{BC} $:
     $$
     \vec{n} = (-1, -2, -5)
     $$

2. Viết phương trình mặt phẳng:
   - Phương trình mặt phẳng có dạng $ ax + by + cz + d = 0 $, trong đó $ (a, b, c) $ là vectơ pháp tuyến và $ (x_0, y_0, z_0) $ là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng.
   - Thay $ \vec{n} = (-1, -2, -5) $ và điểm $ A(2, -1, 1) $ vào phương trình:
     $$
     -1(x - 2) - 2(y + 1) - 5(z - 1) = 0
     $$
   - Rút gọn phương trình:
     $$
     -x + 2 - 2y - 2 - 5z + 5 = 0
     $$
     $$
     -x - 2y - 5z + 5 = 0
     $$
     $$
     x + 2y + 5z - 5 = 0
     $$

3. So sánh với phương trình đã cho:
   - Phương trình mặt phẳng đã cho là $ x + ay + bz + c = 0 $.
   - So sánh với phương trình $ x + 2y + 5z - 5 = 0 $, ta có:
     $$
     a = 2, \quad b = 5, \quad c = -5
     $$

4. Tính giá trị biểu thức $ S = a + b + c $:
   $$
   S = 2 + 5 - 5 = 2
   $$

Vậy giá trị biểu thức $ S $ là $ 2 $.

Đáp số: $ S = 2 $

Câu 2.
Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
   - Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}$. 
     Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (1, -1, 2)$.
   - Đường thẳng $\Delta'$ có phương trình tham số: $\left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2t \
   y = -2 + t \
   z = 1 + t
   \end{array}
   \right.$
     Vectơ chỉ phương của $\Delta'$ là $\vec{v} = (2, 1, 1)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2 - 1 + 2 = 3
   $$

3. Tính độ dài của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
   $$
   $$
   |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
   $$

5. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ
   $$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ là $60^\circ$.

Câu 3.
Để tìm góc nâng $\varphi$ của máy bay, ta cần tính góc giữa vectơ vận tốc $\overrightarrow{v} = (150, 150, 30)$ và mặt phẳng (Oxy).

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy)
- Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$.

Bước 2: Tính cosin của góc giữa vectơ $\overrightarrow{v}$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$
- Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là:
$$ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} = 150 \cdot 0 + 150 \cdot 0 + 30 \cdot 1 = 30 $$
$$ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{150^2 + 150^2 + 30^2} = \sqrt{22500 + 22500 + 900} = \sqrt{45900} = 30\sqrt{51} $$
$$ |\overrightarrow{n}| = 1 $$

Do đó:
$$ \cos(\theta) = \frac{30}{30\sqrt{51}} = \frac{1}{\sqrt{51}} $$

Bước 3: Tính góc $\theta$ giữa vectơ $\overrightarrow{v}$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$
$$ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{51}}\right) $$

Bước 4: Tính góc nâng $\varphi$ của máy bay
- Góc nâng $\varphi$ là góc giữa vectơ $\overrightarrow{v}$ và mặt phẳng (Oxy), do đó:
$$ \varphi = 90^\circ - \theta $$

Sử dụng máy tính để tính giá trị cụ thể:
$$ \theta \approx 78.69^\circ $$
$$ \varphi \approx 90^\circ - 78.69^\circ = 11.31^\circ $$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:
$$ \varphi \approx 11^\circ $$

Vậy giá trị của góc nâng $\varphi$ là 11 độ.

Câu 4.
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình:
   $$
   \frac{x-2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{-1}
   $$
   Ta đặt tham số $t$:
   $$
   x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = 1 - t
   $$

2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
   Giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là điểm $(a; b; c)$ thỏa mãn cả hai phương trình tham số của $\Delta$ và $d$. Do đó, ta có:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   -1 - t_1 = 2 - t_2 \
   6 + 2t_1 = 2t_2 \
   -3 - 2t_1 = 1 - t_2
   \end{array}
   \right.
   $$

3. Giải hệ phương trình:
   Ta giải hệ phương trình này để tìm $t_1$ và $t_2$:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   -1 - t_1 = 2 - t_2 \quad \Rightarrow \quad t_2 = 3 + t_1 \quad (1) \
   6 + 2t_1 = 2t_2 \quad \Rightarrow \quad 6 + 2t_1 = 2(3 + t_1) \quad \Rightarrow \quad 6 + 2t_1 = 6 + 2t_1 \quad (luôn đúng) \
   -3 - 2t_1 = 1 - t_2 \quad \Rightarrow \quad -3 - 2t_1 = 1 - (3 + t_1) \quad \Rightarrow \quad -3 - 2t_1 = -2 - t_1 \quad \Rightarrow \quad -t_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = -1
   \end{array}
   \right.
   $$
   Thay $t_1 = -1$ vào phương trình $(1)$:
   $$
   t_2 = 3 + (-1) = 2
   $$

4. Tìm tọa độ giao điểm:
   Thay $t_1 = -1$ vào phương trình tham số của $\Delta$:
   $$
   x = -1 - (-1) = 0, \quad y = 6 + 2(-1) = 4, \quad z = -3 - 2(-1) = -1
   $$
   Vậy giao điểm $M(a; b; c)$ là $M(0; 4; -1)$.

5. Tính $a + b - c$:
   $$
   a + b - c = 0 + 4 - (-1) = 0 + 4 + 1 = 5
   $$

Đáp số: $a + b - c = 5$