Giúp mình từ câu 2 tới câu 10 với ạ chi tiết cách làm lun nhe mình cảm ơn ạ Câu 2: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=2x^3+3x^2-1$ trên,đoạn $[-2;-\frac12].$ Tính $P=M-m.$,$A.~P=-5.$ $B.~P=1.$ $C.~P=4.$ $D.~P=5.$,Câu 3: Biết rằng hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0;4]$ tại $x_0.$ Tính,$P=x_0+2018.$,$A.~P=3.$ $B.~P=2019.$ $C.~P=2021.$ $D.~P=2018.$,Câu 4: Xét hàm số $f(x)=-\frac43x^3-2x^2-x-3$ trên $[-1;1].$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?,A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ và giá trị lớn nhất tại $x=1.$,B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x=1$ và giá trị lớn nhất tại $x=-1.$,C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ nhưng không có giá trị lớn nhất.,D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại $x=1.$,Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^4-2x^2+5$ trên đoạn $[-2;2].$,$A.~\max_{[-2;2]}f(x)=-4..$ $B.~\max_{[-2;2]}f(x)=13.$ $C.~\max_{[-2;2]}f(x)=14.$ $D.~\max_{[-2;2]}f(x)=23.$,Câu 6: Cho hàm số $f(x)=-2x^4+4x^2+10.$ Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm,số trên đoạn $[0;2].$,$A.~M=10;m=-6.$ $B.~M=12;m=-6.$,$C.~M=10;m=-8.$ $D.~M=12;m=-8.$,Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2;4].$,$A.~\min_{[2,4]}f(x)=6.$ $B.~\min_{x\rightarrow1}f(x)=-2.$ $C.~\min_{[2,4]}f(x)=-3.$ $D.~\min_{[2,4]}f(x)=\frac{19}3.$,Câu 8: Tập giá trị của hàm số $f(x)=x+\frac9x$ với $x\in[2;4]$ là đoạn $[a;b].$ Tính $P=b-a.$,$A.~P=6.$ $B.~P=\frac{13}2.$ $C.~P=\frac{25}4.$ $D.~P=\frac12.$,Câu 9: Cho hàm số $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x+1}.$ Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số,trên đoạn $[0;1].$,$A.~M=\sqrt2;m=1.$ $B.~M=2;m=1.$,$C.~M=1;m=-2.$ $D.~M=2;m=\sqrt2.$,Câu 10: Cho hàm số $f(x)=\frac{3x-1}{x-3}.$ Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số,trên đoạn $[0;2].$,$A.~M=5;m=\frac13.$ $B.~M=-\frac13;m=-5.$,$C.~M=\frac13;m=-5.$ $D.~M=5;m=-\frac13.$

Question

Accepted Answer

Câu 2:
Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1 $ trên đoạn $[-2; -\frac{1}{2}]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = 6x^2 + 6x
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   6x^2 + 6x = 0
   $$
   $$
   6x(x + 1) = 0
   $$
   $$
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
   $$

3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng $[-2; -\frac{1}{2}]$:
   - Điểm $ x = 0 $ không nằm trong khoảng $[-2; -\frac{1}{2}]$.
   - Điểm $ x = -1 $ nằm trong khoảng $[-2; -\frac{1}{2}]$.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = -2 $:
     $$
     f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 1 = 2(-8) + 3(4) - 1 = -16 + 12 - 1 = -5
     $$
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = 2(-1) + 3(1) - 1 = -2 + 3 - 1 = 0
     $$
   - Tại $ x = -\frac{1}{2} $:
     $$
     f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 2\left(-\frac{1}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{4}\right) - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{2}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}
     $$

5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m):
   - Giá trị lớn nhất $ M = 0 $
   - Giá trị nhỏ nhất $ m = -5 $

6. Tính $ P = M - m $:
   $$
   P = 0 - (-5) = 0 + 5 = 5
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ D.~P=5 $$

Câu 3:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 28 $ trên đoạn $[0; 4]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   3x^2 - 6x - 9 = 0
   $$
   Chia cả hai vế cho 3:
   $$
   x^2 - 2x - 3 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $$
   x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
   $$
   Ta có hai nghiệm:
   $$
   x = 3 \quad \text{và} \quad x = -1
   $$

3. Loại bỏ nghiệm $ x = -1 $ vì nó nằm ngoài đoạn $[0; 4]$.

4. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 0 $, $ x = 3 $, và $ x = 4 $:
   $$
   f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 9 \cdot 0 + 28 = 28
   $$
   $$
   f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 28 = 27 - 27 - 27 + 28 = 1
   $$
   $$
   f(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 9 \cdot 4 + 28 = 64 - 48 - 36 + 28 = 8
   $$

5. Xác định giá trị nhỏ nhất:
   Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 4]$ là $ f(3) = 1 $.

6. Tính $ P = x_0 + 2018 $ với $ x_0 = 3 $:
   $$
   P = 3 + 2018 = 2021
   $$

Đáp án: $ C.~P=2021 $

Câu 4:
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = -\frac{4}{3}x^3 - 2x^2 - x - 3 $ trên đoạn $[-1; 1]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = -4x^2 - 4x - 1
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   -4x^2 - 4x - 1 = 0
   $$
   Đây là phương trình bậc hai. Ta sử dụng công thức nghiệm:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $ a = -4 $, $ b = -4 $, $ c = -1 $:
   $$
   x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{-8} = \frac{4 \pm 0}{-8} = -\frac{1}{2}
   $$
   Vậy, điểm tới hạn là $ x = -\frac{1}{2} $.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn $[-1; 1]$:
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     f(-1) = -\frac{4}{3}(-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) - 3 = \frac{4}{3} - 2 + 1 - 3 = -\frac{8}{3}
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     f(1) = -\frac{4}{3}(1)^3 - 2(1)^2 - 1 - 3 = -\frac{4}{3} - 2 - 1 - 3 = -\frac{22}{3}
     $$
   - Tại $ x = -\frac{1}{2} $:
     $$
     f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = -\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{8}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3 = -\frac{17}{6}
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính:
   - $ f(-1) = -\frac{8}{3} $
   - $ f(1) = -\frac{22}{3} $
   - $ f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{17}{6} $

Ta thấy:
   $$
   -\frac{22}{3} < -\frac{17}{6} < -\frac{8}{3}
   $$

5. Kết luận:
   - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ là $ -\frac{8}{3} $ tại $ x = -1 $.
   - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ là $ -\frac{22}{3} $ tại $ x = 1 $.

Do đó, đáp án đúng là:
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $ x = 1 $ và giá trị lớn nhất tại $ x = -1 $.

Câu 5:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ f(x) = x^4 - 2x^2 + 5 $ trên đoạn $[-2; 2]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 5) = 4x^3 - 4x
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   4x^3 - 4x = 0
   $$
   $$
   4x(x^2 - 1) = 0
   $$
   $$
   4x(x - 1)(x + 1) = 0
   $$
   $$
   x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1
   $$

3. Đánh giá hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn $[-2; 2]$:
   - Tại $ x = -2 $:
     $$
     f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13
     $$
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
     $$
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 5 = 5
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
     $$
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất:
   $$
   f(-2) = 13, \quad f(-1) = 4, \quad f(0) = 5, \quad f(1) = 4, \quad f(2) = 13
   $$

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$ là 13.

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\boxed{B.~\max_{[-2;2]}f(x)=13}
$$

Câu 6:
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ f(x) = -2x^4 + 4x^2 + 10 $ trên đoạn $[0; 2]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^4 + 4x^2 + 10) = -8x^3 + 8x
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   -8x^3 + 8x = 0
   $$
   $$
   -8x(x^2 - 1) = 0
   $$
   $$
   -8x(x - 1)(x + 1) = 0
   $$
   $$
   x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1
   $$

3. Loại bỏ các điểm không thuộc đoạn $[0; 2]$:
   Các điểm tới hạn trong đoạn $[0; 2]$ là $ x = 0 $ và $ x = 1 $.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   $$
   f(0) = -2(0)^4 + 4(0)^2 + 10 = 10
   $$
   $$
   f(1) = -2(1)^4 + 4(1)^2 + 10 = -2 + 4 + 10 = 12
   $$
   $$
   f(2) = -2(2)^4 + 4(2)^2 + 10 = -2(16) + 4(4) + 10 = -32 + 16 + 10 = -6
   $$

5. So sánh các giá trị đã tính để tìm GTLN và GTNN:
   $$
   f(0) = 10, \quad f(1) = 12, \quad f(2) = -6
   $$

Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $ 12 $, đạt được khi $ x = 1 $.

Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $ -6 $, đạt được khi $ x = 2 $.

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{B.~M=12;m=-6}
$$

Câu 7:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} $ trên đoạn $[2, 4]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $:
   $$
   f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   f'(x) = \frac{(x^2 + 3)'(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}
   $$
   Tính đạo hàm của tử số và mẫu số:
   $$
   (x^2 + 3)' = 2x \quad \text{và} \quad (x - 1)' = 1
   $$
   Thay vào công thức:
   $$
   f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2}
   $$
   Rút gọn tử số:
   $$
   2x(x - 1) - (x^2 + 3) = 2x^2 - 2x - x^2 - 3 = x^2 - 2x - 3
   $$
   Vậy:
   $$
   f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
   $$
   \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0
   $$
   Điều này xảy ra khi tử số bằng 0:
   $$
   x^2 - 2x - 3 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai:
   $$
   x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0
   $$
   Nghiệm của phương trình là:
   $$
   x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
   $$
   Vì $ x = -1 $ không nằm trong đoạn $[2, 4]$, nên chỉ xét $ x = 3 $.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 2 $, $ x = 3 $, và $ x = 4 $:
   $$
   f(2) = \frac{2^2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7
   $$
   $$
   f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6
   $$
   $$
   f(4) = \frac{4^2 + 3}{4 - 1} = \frac{16 + 3}{3} = \frac{19}{3}
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất:
   $$
   f(2) = 7, \quad f(3) = 6, \quad f(4) = \frac{19}{3} \approx 6.33
   $$
   Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là $ 6 $.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) $ trên đoạn $[2, 4]$ là:
$$
\boxed{\min_{[2,4]} f(x) = 6}
$$

Câu 8:
Để tìm tập giá trị của hàm số $ f(x) = x + \frac{9}{x} $ trên khoảng $[2; 4]$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $:
   $$
   f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2}
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm cực trị:
   $$
   1 - \frac{9}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \quad (\text{vì } x \in [2; 4])
   $$

3. Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:
   $$
   f(2) = 2 + \frac{9}{2} = 2 + 4.5 = 6.5
   $$
   $$
   f(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6
   $$
   $$
   f(4) = 4 + \frac{9}{4} = 4 + 2.25 = 6.25
   $$

4. So sánh các giá trị này để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN):
   $$
   \text{GTLN} = 6.5 \quad \text{(đạt được khi } x = 2)
   $$
   $$
   \text{GTNN} = 6 \quad \text{(đạt được khi } x = 3)
   $$

5. Tập giá trị của hàm số $ f(x) $ trên khoảng $[2; 4]$ là đoạn $[6; 6.5]$.

6. Tính $ P = b - a $:
   $$
   P = 6.5 - 6 = 0.5
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{D.~P=\frac{1}{2}}
$$

Câu 9:
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ f(x) = \frac{2x^2 + x + 1}{x + 1} $ trên đoạn $[0; 1]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $:

Hàm số $ f(x) = \frac{2x^2 + x + 1}{x + 1} $.

Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   f'(x) = \frac{(4x + 1)(x + 1) - (2x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2}
   $$

Tính tử số:
   $$
   (4x + 1)(x + 1) = 4x^2 + 4x + x + 1 = 4x^2 + 5x + 1
   $$
   $$
   (2x^2 + x + 1)
   $$

Vậy:
   $$
   f'(x) = \frac{4x^2 + 5x + 1 - (2x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x}{(x + 1)^2} = \frac{2x(x + 2)}{(x + 1)^2}
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:

$$
   \frac{2x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0
   $$

Điều này xảy ra khi:
   $$
   2x(x + 2) = 0
   $$

Giải phương trình:
   $$
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2
   $$

Vì $ x = -2 $ không nằm trong đoạn $[0; 1]$, nên chỉ xét $ x = 0 $.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 0 $, $ x = 1 $ và $ x = 0 $:

- Tại $ x = 0 $:
     $$
     f(0) = \frac{2(0)^2 + 0 + 1}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1
     $$

- Tại $ x = 1 $:
     $$
     f(1) = \frac{2(1)^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{2 + 1 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2
     $$

4. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:

- Giá trị tại $ x = 0 $ là 1.
   - Giá trị tại $ x = 1 $ là 2.

Do đó, giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên đoạn $[0; 1]$ là 2, và giá trị nhỏ nhất (GTNN) là 1.

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{B.~M=2;m=1.}
$$

Câu 10:
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} $ trên đoạn $[0; 2]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{(3)(x - 3) - (3x - 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{3x - 9 - 3x + 1}{(x - 3)^2} = \frac{-8}{(x - 3)^2}
   $$

2. Xác định dấu của đạo hàm:
   $$
   f'(x) = \frac{-8}{(x - 3)^2}
   $$
   Vì $(x - 3)^2 > 0$ với mọi $x \neq 3$, nên $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-\infty, 3)$ và $(3, +\infty)$. Do đó, hàm số $f(x)$ nghịch biến trên đoạn $[0; 2]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn:
   $$
   f(0) = \frac{3(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}
   $$
   $$
   f(2) = \frac{3(2) - 1}{2 - 3} = \frac{6 - 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:
   - Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $ \frac{1}{3} $.
   - Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $ -5 $.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ C.~M=\frac{1}{3};~m=-5. $$