Giúp với ạ aaaaaa Vận dụng cao,Câu 15. Hàm số $y=-x^3+mx^2-m$ đồng biến trên (1;2) thì m thuộc tập nào sau đây:,$A.~[3;+\infty)$ $B.~(-\infty;3)$ $C.~(\frac32;3)$ $D.~(-\infty;\frac32)$,Câu 16. Cho hàm số $f(x)=x+2+\frac m{x-1}.$ với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của,tham số m sao cho hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.,$A.~m

Question

Giúp với ạ aaaaaa Vận dụng cao,Câu 15. Hàm số $y=-x^3+mx^2-m$ đồng biến trên (1;2) thì m thuộc tập nào sau đây:,$A.~[3;+\infty)$ $B.~(-\infty;3)$ $C.~(\frac32;3)$ $D.~(-\infty;\frac32)$,Câu 16. Cho hàm số $f(x)=x+2+\frac m{x-1}.$ với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của,tham số m sao cho hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.,$A.~m<1.$ $B.~m\leq0.$ $C.~m\geq1.$ $D.~m\geq0.$,Câu 17: Giá trị của m để hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên $(-\infty;1)$ là:,$A.~-2<m<2$ $B.~-2<m\leq-1$ $C.~-2\leq m\leq2$ $D.~-2\leq m\leq1$,Câu 18. Hàm số $y=-x^3+mx^2-m$ đồng biến trên $(1;2)$ thì m thuộc tập nào sau đây:,$A.~[3;+\infty)$ $B.~(-\infty;3)$ $C.~(\frac32;3)$ $D.~(-\infty;\frac32)$,Câu 19. Cho hàm số $f(x)=x+2+\frac m{x-1}.$ với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của,tham số m sao cho hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.,$A.~m<1.$ $B.~m\leq0.$ $C.~m\geq1.$ $D.~m\geq0.$,Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{	an x-2}{	an x-m}$ đồng biến,trên khoảng $(-\frac\pi4;0).$,$A.~-1\leq m<2.$ $B.~m<2.$ $C.~m\geq2.$ $D.\left[\begin{array}{l}m\leq-1\0\leq m<2\end{array}ight..$

Accepted Answer

Câu 15: Để hàm số $ y = -x^3 + mx^2 - m $ đồng biến trên khoảng $ (1; 2) $, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số $ y' \geq 0 $ trên khoảng này. 1. Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + mx^2 - m) = -3x^2 + 2mx $$ 2. Để hàm số đồng biến trên khoảng $ (1; 2) $, ta cần: $$ y' \geq 0 \quad \text{trên khoảng} \quad (1; 2) $$ Điều này có nghĩa là: $$ -3x^2 + 2mx \geq 0 \quad \text{trên khoảng} \quad (1; 2) $$ 3. Ta có bất đẳng thức: $$ -3x^2 + 2mx \geq 0 $$ Chia cả hai vế cho $ x $ (vì $ x > 0 $ trong khoảng $ (1; 2) $): $$ -3x + 2m \geq 0 $$ Suy ra: $$ 2m \geq 3x $$ $$ m \geq \frac{3x}{2} $$ 4. Để bất đẳng thức trên đúng trên toàn bộ khoảng $ (1; 2) $, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $ \frac{3x}{2} $ trong khoảng này. Vì $ x $ nằm trong khoảng $ (1; 2) $, nên: $$ \frac{3 \cdot 1}{2} < \frac{3x}{2} < \frac{3 \cdot 2}{2} $$ $$ \frac{3}{2} < \frac{3x}{2} < 3 $$ 5. Do đó, để $ m \geq \frac{3x}{2} $ đúng trên toàn bộ khoảng $ (1; 2) $, ta cần: $$ m \geq 3 $$ Vậy, $ m $ thuộc tập $ [3; +\infty) $. Đáp án: $ A.~[3; +\infty) $ Câu 16: Để hàm số $ f(x) = x + 2 + \frac{m}{x - 1} $ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số $ f'(x) $ luôn dương trên các khoảng này. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f(x) = x + 2 + \frac{m}{x - 1} $$ Đạo hàm $ f(x) $: $$ f'(x) = 1 - \frac{m}{(x - 1)^2} $$ 2. Điều kiện để hàm số đồng biến: Hàm số $ f(x) $ đồng biến nếu $ f'(x) > 0 $ trên các khoảng xác định của nó. Do đó: $$ 1 - \frac{m}{(x - 1)^2} > 0 $$ $$ \frac{m}{(x - 1)^2} < 1 $$ $$ m < (x - 1)^2 $$ 3. Phân tích bất đẳng thức: Ta cần $ m < (x - 1)^2 $ đúng trên mọi khoảng xác định của $ x $. Vì $ (x - 1)^2 $ luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi $ x = 1 $, nên để bất đẳng thức này đúng trên mọi khoảng, $ m $ phải thỏa mãn: $$ m \leq 0 $$ 4. Kết luận: Các giá trị thực của tham số $ m $ sao cho hàm số $ f(x) $ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là: $$ m \leq 0 $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ B.~m \leq 0 $$ Câu 17: Để hàm số $ y = \frac{mx + 4}{x + m} $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty; 1) $, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó âm trên khoảng này. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y = \frac{mx + 4}{x + m} $$ Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y' = \frac{(mx + 4)'(x + m) - (mx + 4)(x + m)'}{(x + m)^2} $$ $$ y' = \frac{m(x + m) - (mx + 4)}{(x + m)^2} $$ $$ y' = \frac{mx + m^2 - mx - 4}{(x + m)^2} $$ $$ y' = \frac{m^2 - 4}{(x + m)^2} $$ 2. Điều kiện để hàm số nghịch biến: Hàm số $ y $ nghịch biến nếu $ y' < 0 $ trên khoảng $ (-\infty; 1) $. Ta có: $$ y' = \frac{m^2 - 4}{(x + m)^2} $$ Vì $ (x + m)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -m $, nên dấu của $ y' $ phụ thuộc vào tử số $ m^2 - 4 $. Do đó, $ y' < 0 $ khi: $$ m^2 - 4 < 0 $$ $$ m^2 < 4 $$ $$ -2 < m < 2 $$ 3. Kiểm tra điều kiện $ x \neq -m $: Để hàm số xác định trên khoảng $ (-\infty; 1) $, $ x $ không được bằng $ -m $. Điều này có nghĩa là $ -m $ không nằm trong khoảng $ (-\infty; 1) $. Nếu $ -m \leq 1 $: $$ m \geq -1 $$ Kết hợp với điều kiện $ -2 < m < 2 $, ta có: $$ -2 < m \leq -1 $$ Vậy giá trị của $ m $ để hàm số $ y = \frac{mx + 4}{x + m} $ nghịch biến trên $ (-\infty; 1) $ là: $$ \boxed{-2 < m \leq -1} $$ Câu 18: Để hàm số $ y = -x^3 + mx^2 - m $ đồng biến trên khoảng $ (1; 2) $, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số $ y' \geq 0 $ trên khoảng này. 1. Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + mx^2 - m) = -3x^2 + 2mx $$ 2. Để hàm số đồng biến trên khoảng $ (1; 2) $, ta cần: $$ y' \geq 0 \quad \text{trên khoảng} \quad (1; 2) $$ Điều này có nghĩa là: $$ -3x^2 + 2mx \geq 0 \quad \text{trên khoảng} \quad (1; 2) $$ 3. Ta có bất đẳng thức: $$ -3x^2 + 2mx \geq 0 $$ Chia cả hai vế cho $ x $ (vì $ x > 0 $ trong khoảng $ (1; 2) $): $$ -3x + 2m \geq 0 $$ Suy ra: $$ 2m \geq 3x $$ $$ m \geq \frac{3x}{2} $$ 4. Để bất đẳng thức trên đúng trên toàn bộ khoảng $ (1; 2) $, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $ \frac{3x}{2} $ trong khoảng này. Vì $ x $ nằm trong khoảng $ (1; 2) $, nên: $$ \frac{3 \cdot 1}{2} < \frac{3x}{2} < \frac{3 \cdot 2}{2} $$ $$ \frac{3}{2} < \frac{3x}{2} < 3 $$ 5. Do đó, để $ m \geq \frac{3x}{2} $ đúng trên toàn bộ khoảng $ (1; 2) $, ta cần: $$ m \geq 3 $$ Vậy, $ m $ thuộc tập $ [3; +\infty) $. Đáp án: $ A.~[3;+\infty) $ Câu 19: Để hàm số $ f(x) = x + 2 + \frac{m}{x - 1} $ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số $ f'(x) $ luôn dương trên các khoảng này. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f(x) = x + 2 + \frac{m}{x - 1} $$ Đạo hàm $ f(x) $: $$ f'(x) = 1 - \frac{m}{(x - 1)^2} $$ 2. Điều kiện để hàm số đồng biến: Hàm số $ f(x) $ đồng biến nếu $ f'(x) > 0 $ trên các khoảng xác định của nó. Do đó: $$ 1 - \frac{m}{(x - 1)^2} > 0 $$ $$ \frac{m}{(x - 1)^2} < 1 $$ $$ m < (x - 1)^2 $$ 3. Phân tích bất đẳng thức: Ta cần $ m < (x - 1)^2 $ đúng trên mọi khoảng xác định của $ x $. Vì $ (x - 1)^2 $ luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi $ x = 1 $, nên để bất đẳng thức này đúng trên mọi khoảng, $ m $ phải thỏa mãn: $$ m \leq 0 $$ 4. Kết luận: Các giá trị thực của tham số $ m $ sao cho hàm số $ f(x) $ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là: $$ m \leq 0 $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ B.~m \leq 0 $$ Câu 20: Để hàm số $ y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m} $ đồng biến trên khoảng $ \left( -\frac{\pi}{4}; 0 \right) $, ta cần xét đạo hàm của hàm số này. Đặt $ t = \tan x $. Vì $ x \in \left( -\frac{\pi}{4}; 0 \right) $, nên $ t \in (-1; 0) $. Hàm số trở thành: $$ y = \frac{t - 2}{t - m} $$ Ta tính đạo hàm của $ y $: $$ y' = \frac{(t - m)(1) - (t - 2)(1)}{(t - m)^2} = \frac{(t - m) - (t - 2)}{(t - m)^2} = \frac{-m + 2}{(t - m)^2} $$ Để hàm số đồng biến trên khoảng $ (-1; 0) $, đạo hàm $ y' $ phải dương: $$ y' > 0 $$ $$ \frac{-m + 2}{(t - m)^2} > 0 $$ Do $ (t - m)^2 > 0 $ (vì bình phương luôn dương), nên: $$ -m + 2 > 0 $$ $$ m < 2 $$ Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện để hàm số không bị gián đoạn trên khoảng $ (-1; 0) $. Điều này xảy ra khi mẫu số khác 0: $$ \tan x - m \neq 0 $$ $$ \tan x \neq m $$ Trên khoảng $ (-1; 0) $, $ \tan x $ nằm trong khoảng $ (-1; 0) $. Do đó, để hàm số liên tục, $ m $ không được nằm trong khoảng này: $$ m \notin (-1; 0) $$ Kết hợp các điều kiện trên, ta có: $$ m < 2 $$ $$ m \notin (-1; 0) $$ Vậy, các giá trị thực của tham số $ m $ thỏa mãn điều kiện hàm số đồng biến trên khoảng $ \left( -\frac{\pi}{4}; 0 \right) $ là: $$ m \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad 0 \leq m < 2 $$ Đáp án đúng là: $$ D. \left[ \begin{array}{l} m \leq -1 \ 0 \leq m < 2 \end{array} \right. $$