giải giúp e ạ

Câu 51: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình mặt cầu có tâm \( I(1, -2, 3) \) và cắt trục \( Ox \) tại hai điểm \( A \) và \( B \) sao cho \( AB = 2\sqrt{3} \). Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \] Với tâm \( I(1, -2, 3) \), phương trình mặt cầu trở thành: \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = R^2 \] Do mặt cầu cắt trục \( Ox \) tại hai điểm \( A \) và \( B \), nên tọa độ của \( A \) và \( B \) có dạng \( (x_1, 0, 0) \) và \( (x_2, 0, 0) \). Thay tọa độ của \( A \) và \( B \) vào phương trình mặt cầu, ta có: \[ (x_1-1)^2 + (-2)^2 + (3)^2 = R^2 \] \[ (x_2-1)^2 + (-2)^2 + (3)^2 = R^2 \] Từ đó, ta có: \[ (x_1-1)^2 + 4 + 9 = R^2 \quad \Rightarrow \quad (x_1-1)^2 + 13 = R^2 \] \[ (x_2-1)^2 + 4 + 9 = R^2 \quad \Rightarrow \quad (x_2-1)^2 + 13 = R^2 \] Suy ra: \[ (x_1-1)^2 = R^2 - 13 \] \[ (x_2-1)^2 = R^2 - 13 \] Khoảng cách \( AB = 2\sqrt{3} \) nên: \[ |x_2 - x_1| = 2\sqrt{3} \] Do đó: \[ \sqrt{R^2 - 13} + \sqrt{R^2 - 13} = 2\sqrt{3} \] Giải phương trình trên, ta có: \[ 2\sqrt{R^2 - 13} = 2\sqrt{3} \] \[ \sqrt{R^2 - 13} = \sqrt{3} \] Bình phương hai vế, ta được: \[ R^2 - 13 = 3 \] \[ R^2 = 16 \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16 \] Do đó, đáp án đúng là \( A \). Câu 52: Để tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm \( I \) thuộc trục Ox và đi qua hai điểm \( A(1;1;2) \) và \( B(3;2;-3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ tâm \( I \): Vì \( I \) thuộc trục Ox nên tọa độ của \( I \) có dạng \( I(a;0;0) \). 2. Sử dụng điều kiện mặt cầu đi qua điểm \( A \): Mặt cầu đi qua điểm \( A(1;1;2) \) nên ta có: \[ IA = \sqrt{(a-1)^2 + 1^2 + 2^2} = R \] Bình phương hai vế: \[ (a-1)^2 + 1 + 4 = R^2 \] \[ (a-1)^2 + 5 = R^2 \quad \text{(1)} \] 3. Sử dụng điều kiện mặt cầu đi qua điểm \( B \): Mặt cầu đi qua điểm \( B(3;2;-3) \) nên ta có: \[ IB = \sqrt{(a-3)^2 + 2^2 + (-3)^2} = R \] Bình phương hai vế: \[ (a-3)^2 + 4 + 9 = R^2 \] \[ (a-3)^2 + 13 = R^2 \quad \text{(2)} \] 4. Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ (1) và (2), ta có: \[ (a-1)^2 + 5 = (a-3)^2 + 13 \] \[ (a-1)^2 - (a-3)^2 = 8 \] Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \[ ((a-1) - (a-3))((a-1) + (a-3)) = 8 \] \[ (2)(2a-4) = 8 \] \[ 4a - 8 = 8 \] \[ 4a = 16 \] \[ a = 4 \] 5. Xác định bán kính \( R \): Thay \( a = 4 \) vào phương trình (1): \[ (4-1)^2 + 5 = R^2 \] \[ 9 + 5 = R^2 \] \[ R^2 = 14 \] 6. Viết phương trình mặt cầu: Tọa độ tâm \( I(4;0;0) \) và bán kính \( R = \sqrt{14} \), phương trình mặt cầu là: \[ (x-4)^2 + y^2 + z^2 = 14 \] Mở rộng phương trình: \[ x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 = 14 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 2 = 0 \] Do đó, phương trình mặt cầu là \( x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 2 = 0 \). Đáp án đúng là A. Câu 53: Để tìm phương trình mặt cầu đi qua điểm \( A(1; -1; 4) \) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ, ta cần xác định tâm và bán kính của mặt cầu. 1. Xác định tâm của mặt cầu: Mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), \( Oxz \), và \( Oyz \) có tâm \( I(a, b, c) \) sao cho: - Khoảng cách từ tâm \( I \) đến mặt phẳng \( Oxy \) là \( |c| \). - Khoảng cách từ tâm \( I \) đến mặt phẳng \( Oxz \) là \( |b| \). - Khoảng cách từ tâm \( I \) đến mặt phẳng \( Oyz \) là \( |a| \). Do đó, bán kính \( R \) của mặt cầu bằng \( |a| = |b| = |c| \). 2. Xác định bán kính và tọa độ tâm: Vì mặt cầu đi qua điểm \( A(1; -1; 4) \), ta có phương trình: \[ (1 - a)^2 + (-1 - b)^2 + (4 - c)^2 = R^2 \] Với \( R = |a| = |b| = |c| \), ta có: \[ a = b = c \] hoặc \[ a = b = -c \] hoặc \[ a = -b = c \] hoặc \[ a = -b = -c \] 3. Thử các trường hợp: - Trường hợp 1: \( a = b = c \) Phương trình trở thành: \[ (1 - a)^2 + (-1 - a)^2 + (4 - a)^2 = a^2 \] Giải phương trình này để tìm \( a \). - Trường hợp 2: \( a = b = -c \) Phương trình trở thành: \[ (1 - a)^2 + (-1 - a)^2 + (4 + a)^2 = a^2 \] Giải phương trình này để tìm \( a \). - Trường hợp 3: \( a = -b = c \) Phương trình trở thành: \[ (1 - a)^2 + (-1 + a)^2 + (4 - a)^2 = a^2 \] Giải phương trình này để tìm \( a \). - Trường hợp 4: \( a = -b = -c \) Phương trình trở thành: \[ (1 - a)^2 + (-1 + a)^2 + (4 + a)^2 = a^2 \] Giải phương trình này để tìm \( a \). 4. Giải phương trình: Sau khi thử các trường hợp, ta tìm được: - Với \( a = 3 \), \( b = -3 \), \( c = -3 \), bán kính \( R = 3 \). Phương trình mặt cầu là: \[ (x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9 \] 5. Kết luận: Đáp án đúng là \( B. (x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9 \). Câu 54: Để giải bài toán này, ta cần xác định điều kiện để mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu đã cho. Mặt cầu có phương trình: \[ (x-3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = m^2 + 1 \] Tâm của mặt cầu là \(I(3, 0, 2)\) và bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt{m^2 + 1}\). Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là \(z = 0\). Khoảng cách từ tâm \(I(3, 0, 2)\) đến mặt phẳng (Oxy) là: \[ d = \frac{|2 - 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = 2 \] Để mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng phải bằng bán kính của mặt cầu, tức là: \[ d = R \] Do đó, ta có phương trình: \[ 2 = \sqrt{m^2 + 1} \] Bình phương hai vế, ta được: \[ 4 = m^2 + 1 \] Giải phương trình này, ta có: \[ m^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad m = \sqrt{3} \] Vì \(m\) là giá trị dương, nên \(m = \sqrt{3}\). Vậy giá trị dương của \(m\) để mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu là \(\sqrt{3}\). Đáp án đúng là \(B.~m=\sqrt{3}.\) Câu 55: Để tìm phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm \(A(3;3;0)\), \(B(3;0;3)\), \(C(0;3;3)\), \(D(3;3;3)\), ta cần xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Bước 1: Tìm tâm của mặt cầu Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Vì mặt cầu đi qua các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), nên ta có các phương trình: 1. \((3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (0 - c)^2 = R^2\) 2. \((3 - a)^2 + (0 - b)^2 + (3 - c)^2 = R^2\) 3. \((0 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3 - c)^2 = R^2\) 4. \((3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3 - c)^2 = R^2\) Bước 2: Giải hệ phương trình Từ phương trình 1 và 4, ta có: \[ (3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (0 - c)^2 = (3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3 - c)^2 \] Suy ra: \[ (0 - c)^2 = (3 - c)^2 \] Giải phương trình này, ta có: \[ c^2 = (3 - c)^2 \Rightarrow c^2 = 9 - 6c + c^2 \Rightarrow 6c = 9 \Rightarrow c = \frac{3}{2} \] Tương tự, từ phương trình 2 và 4, ta có: \[ (3 - a)^2 + (0 - b)^2 + (3 - c)^2 = (3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3 - c)^2 \] Suy ra: \[ (0 - b)^2 = (3 - b)^2 \] Giải phương trình này, ta có: \[ b^2 = (3 - b)^2 \Rightarrow b^2 = 9 - 6b + b^2 \Rightarrow 6b = 9 \Rightarrow b = \frac{3}{2} \] Từ phương trình 3 và 4, ta có: \[ (0 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3 - c)^2 = (3 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3 - c)^2 \] Suy ra: \[ (0 - a)^2 = (3 - a)^2 \] Giải phương trình này, ta có: \[ a^2 = (3 - a)^2 \Rightarrow a^2 = 9 - 6a + a^2 \Rightarrow 6a = 9 \Rightarrow a = \frac{3}{2} \] Bước 3: Tính bán kính Thay \(a = \frac{3}{2}\), \(b = \frac{3}{2}\), \(c = \frac{3}{2}\) vào một trong các phương trình, ví dụ phương trình 1: \[ (3 - \frac{3}{2})^2 + (3 - \frac{3}{2})^2 + (0 - \frac{3}{2})^2 = R^2 \] \[ \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = R^2 \] \[ \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = R^2 \] \[ \frac{27}{4} = R^2 \] \[ R = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] Kết luận Phương trình mặt cầu (S) là: \[ (x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 + (z - \frac{3}{2})^2 = \frac{27}{4} \] Vậy đáp án đúng là D. Câu 56: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) và sau đó tìm phương trình của mặt cầu \((S')\) có tâm trùng với tâm của mặt cầu \((S)\) và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu \((S)\). Bước 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có tâm là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của tứ diện. Để đơn giản, ta có thể sử dụng phương pháp trung bình cộng tọa độ của các đỉnh để tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Tọa độ của các đỉnh là: - \(A(2, 0, 0)\) - \(B(0, 4, 0)\) - \(C(0, 0, 6)\) - \(D(2, 4, 6)\) Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) là trung bình cộng tọa độ của các đỉnh: \[ I\left(\frac{2+0+0+2}{4}, \frac{0+4+0+4}{4}, \frac{0+0+6+6}{4}\right) = (1, 2, 3) \] Bước 2: Tính bán kính của mặt cầu \((S)\) Bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) là khoảng cách từ tâm \(I(1, 2, 3)\) đến một trong các đỉnh, chẳng hạn đỉnh \(A(2, 0, 0)\): \[ R = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] Bước 3: Viết phương trình mặt cầu \((S')\) Mặt cầu \((S')\) có tâm trùng với tâm của mặt cầu \((S)\) là \(I(1, 2, 3)\) và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu \((S)\), tức là bán kính \(R' = 2R = 2\sqrt{14}\). Phương trình của mặt cầu \((S')\) là: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (2\sqrt{14})^2 = 56 \] Do đó, phương trình của mặt cầu \((S')\) là: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 56 \] Kết luận: Đáp án đúng là A. \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 56\).