giải giúp e ạ

Câu 21: Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, nó phải có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] với \( R > 0 \). Bắt đầu từ phương trình đã cho: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2my + 3m^2 - 2m = 0 \] Ta nhóm các biến lại và hoàn thành bình phương: 1. Nhóm và hoàn thành bình phương cho \( x \): \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \] 2. Nhóm và hoàn thành bình phương cho \( y \): \[ y^2 + 2my = (y + m)^2 - m^2 \] 3. \( z^2 \) không cần hoàn thành bình phương vì không có số hạng chứa \( z \). Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + m)^2 - m^2 + z^2 + 3m^2 - 2m = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ (x - 2)^2 + (y + m)^2 + z^2 = 4 - 3m^2 + m^2 + 2m \] \[ (x - 2)^2 + (y + m)^2 + z^2 = 4 - 2m^2 + 2m \] Để phương trình này là phương trình mặt cầu, vế phải phải là một số dương, tức là: \[ 4 - 2m^2 + 2m > 0 \] Giải bất phương trình: \[ -2m^2 + 2m + 4 > 0 \] Chia cả hai vế cho \(-2\): \[ m^2 - m - 2 < 0 \] Phân tích thành nhân tử: \[ (m - 2)(m + 1) < 0 \] Xét dấu của biểu thức: - Nghiệm của phương trình là \( m = 2 \) và \( m = -1 \). - Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc|c} m & -\infty & -1 & 2 & +\infty \\ \hline m - 2 & - & - & 0 & + \\ m + 1 & - & 0 & + & + \\ \hline (m - 2)(m + 1) & + & 0 & - & 0 & + \\ \end{array} \] Biểu thức \( (m - 2)(m + 1) < 0 \) khi \( -1 < m < 2 \). Các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn là \( m = 0, 1 \). Tổng các giá trị nguyên của \( m \) là \( 0 + 1 = 1 \). Vậy đáp án đúng là B. 1. Câu 22: Để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 4mx + 2my - 2mz + 9m^2 - 28 = 0$ là phương trình của một mặt cầu, ta cần đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Bước đầu tiên là nhóm các biến và hoàn thành bình phương: 1. Nhóm các biến $x$, $y$, $z$: \[ x^2 + 4mx + y^2 + 2my + z^2 - 2mz + 9m^2 - 28 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương cho từng biến: - Với $x$: $x^2 + 4mx = (x + 2m)^2 - 4m^2$ - Với $y$: $y^2 + 2my = (y + m)^2 - m^2$ - Với $z$: $z^2 - 2mz = (z - m)^2 - m^2$ 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x + 2m)^2 - 4m^2 + (y + m)^2 - m^2 + (z - m)^2 - m^2 + 9m^2 - 28 = 0 \] \[ (x + 2m)^2 + (y + m)^2 + (z - m)^2 - 6m^2 + 9m^2 - 28 = 0 \] \[ (x + 2m)^2 + (y + m)^2 + (z - m)^2 + 3m^2 - 28 = 0 \] Để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu, vế phải phải là một số dương hoặc bằng 0. Do đó, ta cần: \[ 3m^2 - 28 \geq 0 \] Giải bất phương trình: \[ 3m^2 \geq 28 \quad \Rightarrow \quad m^2 \geq \frac{28}{3} \] Tìm các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên: - $\sqrt{\frac{28}{3}} \approx 3.055 \Rightarrow m \geq 4$ hoặc $m \leq -4$ Các giá trị nguyên của $m$ là $m \in \{-4, -5, -6, \ldots\} \cup \{4, 5, 6, \ldots\}$. Tính số lượng giá trị nguyên của $m$: - $m \leq -4$: Các giá trị nguyên là $-4, -5, -6, \ldots$ - $m \geq 4$: Các giá trị nguyên là $4, 5, 6, \ldots$ Tổng cộng có 6 giá trị nguyên của $m$: $-4, -5, -6, 4, 5, 6$. Vậy, có tất cả 6 giá trị nguyên của $m$ để phương trình là phương trình của một mặt cầu. Đáp án đúng là D. 6. Câu 23: Để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2(m+2)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình của một mặt cầu, ta cần đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] trong đó $R > 0$. Bước 1: Nhóm các biến và hoàn thành bình phương. Phương trình ban đầu là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2(m+2)x + 4my + 19m - 6 = 0 \] - Hoàn thành bình phương cho $x$: \[ x^2 - 2(m+2)x = (x - (m+2))^2 - (m+2)^2 \] - Hoàn thành bình phương cho $y$: \[ y^2 + 4my = (y + 2m)^2 - (2m)^2 \] - $z^2$ đã là bình phương hoàn chỉnh. Thay vào phương trình ban đầu, ta có: \[ (x - (m+2))^2 - (m+2)^2 + (y + 2m)^2 - (2m)^2 + z^2 + 19m - 6 = 0 \] Bước 2: Đưa phương trình về dạng chuẩn. Gộp các hằng số lại: \[ (x - (m+2))^2 + (y + 2m)^2 + z^2 = (m+2)^2 + (2m)^2 - 19m + 6 \] Để phương trình là phương trình mặt cầu, vế phải phải là một số dương: \[ (m+2)^2 + (2m)^2 - 19m + 6 > 0 \] Tính toán vế phải: \[ (m+2)^2 = m^2 + 4m + 4 \] \[ (2m)^2 = 4m^2 \] Do đó: \[ m^2 + 4m + 4 + 4m^2 - 19m + 6 = 5m^2 - 15m + 10 \] Yêu cầu: \[ 5m^2 - 15m + 10 > 0 \] Chia cả hai vế cho 5: \[ m^2 - 3m + 2 > 0 \] Giải bất phương trình bậc hai: \[ m^2 - 3m + 2 = 0 \] Tìm nghiệm của phương trình: \[ m = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \] Nghiệm là $m = 1$ và $m = 2$. Xét dấu của tam thức $m^2 - 3m + 2$: - Với $m < 1$: $m^2 - 3m + 2 > 0$ - Với $1 < m < 2$: $m^2 - 3m + 2 < 0$ - Với $m > 2$: $m^2 - 3m + 2 > 0$ Vậy, bất phương trình $m^2 - 3m + 2 > 0$ có nghiệm $m < 1$ hoặc $m > 2$. Do đó, đáp án đúng là: $B.~m< 1$ hoặc $m>2.$ Câu 24: Để phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + 2(m+2)x - 2(m-1)z + 3m^2 - 5 = 0\) là phương trình của một mặt cầu, ta cần đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Bước 1: Nhóm các biến và hoàn thành bình phương. - Nhóm các hạng tử chứa \(x\): \[ x^2 + 2(m+2)x = (x + (m+2))^2 - (m+2)^2 \] - Nhóm các hạng tử chứa \(z\): \[ z^2 - 2(m-1)z = (z - (m-1))^2 - (m-1)^2 \] Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu và sắp xếp lại: \[ (x + (m+2))^2 - (m+2)^2 + y^2 + (z - (m-1))^2 - (m-1)^2 + 3m^2 - 5 = 0 \] \[ (x + (m+2))^2 + y^2 + (z - (m-1))^2 = (m+2)^2 + (m-1)^2 - 3m^2 + 5 \] Bước 3: Tính toán vế phải để tìm điều kiện cho \(R^2 > 0\): \[ (m+2)^2 + (m-1)^2 - 3m^2 + 5 = m^2 + 4m + 4 + m^2 - 2m + 1 - 3m^2 + 5 \] \[ = -m^2 + 2m + 10 \] Để phương trình là phương trình của một mặt cầu, ta cần: \[ -m^2 + 2m + 10 > 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình: \[ -m^2 + 2m + 10 > 0 \implies m^2 - 2m - 10 < 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 2m - 10 = 0 \] Tính \(\Delta\): \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44 \] Nghiệm của phương trình: \[ m = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = 1 \pm \sqrt{11} \] Vậy bất phương trình \(m^2 - 2m - 10 < 0\) có nghiệm trong khoảng: \[ 1 - \sqrt{11} < m < 1 + \sqrt{11} \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của \(m\): Tính gần đúng \(\sqrt{11} \approx 3.3166\), do đó: \[ 1 - 3.3166 < m < 1 + 3.3166 \implies -2.3166 < m < 4.3166 \] Các giá trị nguyên của \(m\) là: \(-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\). Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của \(m\) để phương trình là phương trình của một mặt cầu. Đáp án: D. 7.