Dnndnfkfkfnbdkd Biên soạn: Hoàng Dức Chính,Câu 7. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là,phương trình mặt cầu?,$A.~x^2+y^2+z^2=0.$ $B.~x^2+y^2+x^2-2x+4y+10=0$,$C.~x^2+y^2+2x^2+2x+4x-10=0.$ $D.~x^2+y^2+x^2+2x+4x-1=0.$,Câu 8.,u 8. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương,trình $x^2+y^2+z^2=4.$ Điểm có tọa độ nào sau đây nằm ngoài mặt cầu?,$A.~M(1;1;2).$ $B.~N(1;1;1).$ $C.~P(-1;1;0)$ $D.~Q(0,0,2)$,Câu 9. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của,tham để bán kính mặt cầu có phương trình,$x^2+y^2+z^2-4mx+4y+2mz+m^2+4m=0$ đạt giá trị nhỏ nhất.,$A.~m=\frac32.$ $B.~m=\frac{-1}2.$ $C.~m=\frac12.$ $D.~m=\frac{-3}2.$,Câu 10. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu có,tâm $I(1;1;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):~2x+y+2z+1=0.$,$A.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1.$ $B.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4.$,$C.~(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=4.$ $D.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=2.$,Câu 11. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua,hai điểm $A(3;-1;2),~B(1;1;-2)$ và có tâm thuộc trục Oz là,$A.~x^2+y^2+(x+1)^2=11.$ $B.~x^2+y^2+(z-1)^2=11.$,$C.~x^2+y^2+(z+2)^2=11.$ $D.~x^2+y^2+(z-1)^2=12$,đ nnt lli

Question

Dnndnfkfkfnbdkd Biên soạn: Hoàng Dức Chính,Câu 7. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là,phương trình mặt cầu?,$A.~x^2+y^2+z^2=0.$ $B.~x^2+y^2+x^2-2x+4y+10=0$,$C.~x^2+y^2+2x^2+2x+4x-10=0.$ $D.~x^2+y^2+x^2+2x+4x-1=0.$,Câu 8.,u 8. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương,trình $x^2+y^2+z^2=4.$ Điểm có tọa độ nào sau đây nằm ngoài mặt cầu?,$A.~M(1;1;2).$ $B.~N(1;1;1).$ $C.~P(-1;1;0)$ $D.~Q(0,0,2)$,Câu 9. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của,tham để bán kính mặt cầu có phương trình,$x^2+y^2+z^2-4mx+4y+2mz+m^2+4m=0$ đạt giá trị nhỏ nhất.,$A.~m=\frac32.$ $B.~m=\frac{-1}2.$ $C.~m=\frac12.$ $D.~m=\frac{-3}2.$,Câu 10. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu có,tâm $I(1;1;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):~2x+y+2z+1=0.$,$A.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1.$ $B.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4.$,$C.~(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=4.$ $D.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=2.$,Câu 11. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua,hai điểm $A(3;-1;2),~B(1;1;-2)$ và có tâm thuộc trục Oz là,$A.~x^2+y^2+(x+1)^2=11.$ $B.~x^2+y^2+(z-1)^2=11.$,$C.~x^2+y^2+(z+2)^2=11.$ $D.~x^2+y^2+(z-1)^2=12$,đ  nnt lli

Accepted Answer

Câu 7. Phương trình mặt cầu có dạng tổng quát là: $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$ Trong đó, $(a, b, c)$ là tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính của mặt cầu. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xem có thể viết dưới dạng tổng quát này hay không. A. $ x^2 + y^2 + z^2 = 0 $ Phương trình này chỉ đúng khi $x = y = z = 0$. Đây là điểm gốc, không phải là mặt cầu. B. $ x^2 + y^2 + x^2 - 2x + 4y + 10 = 0 $ Sắp xếp lại phương trình: $$ 2x^2 + y^2 - 2x + 4y + 10 = 0 $$ Phương trình này không có dạng tổng quát của mặt cầu vì có $2x^2$ thay vì $x^2$. C. $ x^2 + y^2 + 2x^2 + 2x + 4x - 10 = 0 $ Sắp xếp lại phương trình: $$ 3x^2 + y^2 + 6x - 10 = 0 $$ Phương trình này cũng không có dạng tổng quát của mặt cầu vì có $3x^2$ thay vì $x^2$. D. $ x^2 + y^2 + x^2 + 2x + 4x - 1 = 0 $ Sắp xếp lại phương trình: $$ 2x^2 + y^2 + 6x - 1 = 0 $$ Phương trình này cũng không có dạng tổng quát của mặt cầu vì có $2x^2$ thay vì $x^2$. Như vậy, không có phương trình nào trong các phương trình đã cho là phương trình mặt cầu. Câu 8. Để xác định điểm nào nằm ngoài mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 4$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt cầu và kiểm tra xem liệu tổng bình phương các tọa độ có lớn hơn 4 hay không. - Với điểm $M(1, 1, 2)$: $$ 1^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6 > 4 $$ Do đó, điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu. - Với điểm $N(1, 1, 1)$: $$ 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3 < 4 $$ Do đó, điểm $N$ nằm trong mặt cầu. - Với điểm $P(-1, 1, 0)$: $$ (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 < 4 $$ Do đó, điểm $P$ nằm trong mặt cầu. - Với điểm $Q(0, 0, 2)$: $$ 0^2 + 0^2 + 2^2 = 0 + 0 + 4 = 4 $$ Do đó, điểm $Q$ nằm trên mặt cầu. Như vậy, điểm nằm ngoài mặt cầu là điểm $M(1, 1, 2)$. Đáp án: $A.~M(1;1;2)$. Câu 9. Để tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu, ta cần viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn. Phương trình ban đầu: $$ x^2 + y^2 + z^2 - 4mx + 4y + 2mz + m^2 + 4m = 0 $$ Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ lại: $$ (x^2 - 4mx) + (y^2 + 4y) + (z^2 + 2mz) + m^2 + 4m = 0 $$ Hoàn thành bình phương: $$ (x - 2m)^2 - 4m^2 + (y + 2)^2 - 4 + (z + m)^2 - m^2 + m^2 + 4m = 0 $$ $$ (x - 2m)^2 + (y + 2)^2 + (z + m)^2 - 4m^2 - 4 + m^2 + 4m = 0 $$ $$ (x - 2m)^2 + (y + 2)^2 + (z + m)^2 - 3m^2 + 4m - 4 = 0 $$ Di chuyển các hằng số sang phía bên phải: $$ (x - 2m)^2 + (y + 2)^2 + (z + m)^2 = 3m^2 - 4m + 4 $$ Phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu: $$ (x - 2m)^2 + (y + 2)^2 + (z + m)^2 = R^2 $$ Trong đó, bán kính $R$ là: $$ R^2 = 3m^2 - 4m + 4 $$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $R$, ta cần tối thiểu hóa $R^2$. Ta coi $f(m) = 3m^2 - 4m + 4$ và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này. Tính đạo hàm của $f(m)$: $$ f'(m) = 6m - 4 $$ Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: $$ 6m - 4 = 0 $$ $$ m = \frac{2}{3} $$ Kiểm tra tính chất của điểm cực trị bằng đạo hàm thứ hai: $$ f''(m) = 6 $$ Vì $f''(m) > 0$, nên $m = \frac{2}{3}$ là điểm cực tiểu của $f(m)$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $R^2$ xảy ra khi $m = \frac{2}{3}$. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, giá trị gần đúng nhất là $m = \frac{1}{2}$. Vậy đáp án đúng là: $$ C.~m = \frac{1}{2}. $$ Câu 10. Để lập phương trình mặt cầu có tâm $ I(1;1;1) $ và tiếp xúc với mặt phẳng $ (P): 2x + y + 2z + 1 = 0 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ tâm $ I $ đến mặt phẳng $ (P) $: - Công thức khoảng cách từ điểm $ (x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ là: $$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$ - Thay $ (x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 1) $ và $ a = 2, b = 1, c = 2, d = 1 $: $$ d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 1 + 2 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|6|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2 $$ 2. Xác định bán kính của mặt cầu: - Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $ (P) $, khoảng cách từ tâm $ I $ đến mặt phẳng $ (P) $ chính là bán kính $ R $ của mặt cầu. - Vậy $ R = 2 $. 3. Lập phương trình mặt cầu: - Phương trình mặt cầu có tâm $ (x_0, y_0, z_0) $ và bán kính $ R $ là: $$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 $$ - Thay $ (x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 1) $ và $ R = 2 $: $$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 2^2 = 4 $$ Vậy phương trình mặt cầu là: $$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 4 $$ Đáp án đúng là: B. $ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 4 $. Câu 11. Trước tiên, ta cần xác định tâm của mặt cầu. Vì tâm của mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ tâm của mặt cầu sẽ có dạng $(0, 0, z_0)$. Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ tâm đến hai điểm A và B. Vì mặt cầu đi qua cả hai điểm này, nên khoảng cách từ tâm đến mỗi điểm sẽ bằng bán kính của mặt cầu. Khoảng cách từ tâm $(0, 0, z_0)$ đến điểm $A(3, -1, 2)$ là: $$ d_A = \sqrt{(3-0)^2 + (-1-0)^2 + (2-z_0)^2} = \sqrt{9 + 1 + (2-z_0)^2} = \sqrt{10 + (2-z_0)^2} $$ Khoảng cách từ tâm $(0, 0, z_0)$ đến điểm $B(1, 1, -2)$ là: $$ d_B = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (-2-z_0)^2} = \sqrt{1 + 1 + (-2-z_0)^2} = \sqrt{2 + (-2-z_0)^2} $$ Vì cả hai khoảng cách này đều bằng bán kính của mặt cầu, ta có: $$ \sqrt{10 + (2-z_0)^2} = \sqrt{2 + (-2-z_0)^2} $$ Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: $$ 10 + (2-z_0)^2 = 2 + (-2-z_0)^2 $$ Mở rộng các bình phương: $$ 10 + 4 - 4z_0 + z_0^2 = 2 + 4 + 4z_0 + z_0^2 $$ $$ 14 - 4z_0 + z_0^2 = 6 + 4z_0 + z_0^2 $$ Loại bỏ $z_0^2$ ở cả hai vế: $$ 14 - 4z_0 = 6 + 4z_0 $$ Di chuyển các hạng tử liên quan đến $z_0$ sang một vế: $$ 14 - 6 = 4z_0 + 4z_0 $$ $$ 8 = 8z_0 $$ Giải ra $z_0$: $$ z_0 = 1 $$ Vậy tâm của mặt cầu là $(0, 0, 1)$. Bây giờ, ta tính bán kính của mặt cầu bằng cách sử dụng khoảng cách từ tâm đến điểm A: $$ R = \sqrt{(3-0)^2 + (-1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} $$ Phương trình của mặt cầu là: $$ x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 11 $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ \boxed{B.~x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 11} $$