giúp mình vs Bài 3. (1,5 điểm),Một chiếc cổng hình parabol khi đưa vào hệ trục tọa độ Oxy có dạng một,phần của parabol $y=-\frac12x^2;$ với gốc tọa độ O là vị trí cao nhất của cổng,,so với mặt đất, x và y được tính theo đơn vị mét (hình vẽ). Hãy tính chiều,cao h của cổng parabol? Biết cổng parabol có chiều rộng $d=5(m).$ Hãy,tính chiều cao h của cổng.,Bài 4. (2 điểm) Giải các phương trình sau:,a) (1 điểm) $2x^2-3x-9=0;$,b) (1 điểm) $x(x+1)(x+2)(x+3)=24.$,Bài 5. (2 điểm) Cho phương trình $x^2-4mx-3m=2(1),$ với m là tham số.,a) (1đ) Tìm m để phương trình (1) nhận $x=3$ là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình.,b) (1đ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1-4x_2-x^2_2=4m+4.$,Bài 6. (1 điểm) Cho phương trình $2x^2-(m+3)x+m=0$ với m là tham số. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm,của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|x_1-x_2|.$

Question

giúp mình vs Bài 3. (1,5 điểm),Một chiếc cổng hình parabol khi đưa vào hệ trục tọa độ Oxy có dạng một,phần của parabol $y=-\frac12x^2;$ với gốc tọa độ O là vị trí cao nhất của cổng,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/973b259b8c9b42769089f6e394860db2.jpg />,so với mặt đất, x và y được tính theo đơn vị mét (hình vẽ). Hãy tính chiều,cao h của cổng parabol? Biết cổng parabol có chiều rộng $d=5(m).$ Hãy,tính chiều cao h của cổng.,Bài 4. (2 điểm) Giải các phương trình sau:,a) (1 điểm) $2x^2-3x-9=0;$,b) (1 điểm) $x(x+1)(x+2)(x+3)=24.$,Bài 5. (2 điểm) Cho phương trình $x^2-4mx-3m=2(1),$ với m là tham số.,a) (1đ) Tìm m để phương trình (1) nhận $x=3$ là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình.,b) (1đ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1-4x_2-x^2_2=4m+4.$,Bài 6. (1 điểm) Cho phương trình $2x^2-(m+3)x+m=0$ với m là tham số. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm,của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|x_1-x_2|.$

Accepted Answer

Bài 3.
Để tính chiều cao $ h $ của cổng parabol, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm trên cổng parabol:

   Cổng parabol có dạng một phần của parabol $ y = -\frac{1}{2}x^2 $. Biết rằng cổng có chiều rộng $ d = 5 $ mét, tức là khoảng cách giữa hai điểm ở hai bên của cổng là 5 mét.

   Do đó, hai điểm ở hai bên của cổng sẽ có tọa độ là $ (-\frac{5}{2}, y_1) $ và $ (\frac{5}{2}, y_2) $. Vì cổng đối xứng qua trục y, nên $ y_1 = y_2 $.

2. Tìm tọa độ của các điểm này trên parabol:

   Thay $ x = \frac{5}{2} $ vào phương trình parabol để tìm $ y $:
   $$ y = -\frac{1}{2} \left( \frac{5}{2} \right)^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{4} = -\frac{25}{8} $$

   Vậy tọa độ của hai điểm là $ \left( -\frac{5}{2}, -\frac{25}{8} \right) $ và $ \left( \frac{5}{2}, -\frac{25}{8} \right) $.

3. Tính chiều cao $ h $ của cổng:

   Chiều cao $ h $ của cổng là khoảng cách từ đỉnh của parabol (gốc tọa độ O) xuống điểm thấp nhất của cổng. Điểm thấp nhất của cổng có tọa độ $ (0, 0) $ và $ \left( \frac{5}{2}, -\frac{25}{8} \right) $.

   Chiều cao $ h $ là:
   $$ h = 0 - \left( -\frac{25}{8} \right) = \frac{25}{8} \text{ mét} $$

Vậy chiều cao của cổng parabol là $ \frac{25}{8} $ mét.

Bài 4.
a) Ta có:
$2x^2-3x-9=0$
Phương trình này có dạng $ax^2+bx+c=0$, với $a=2$, $b=-3$, $c=-9$. Ta tính $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 2\times (-9)=9+72=81$.
Vì $\Delta>0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+9}{4}=3$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-9}{4}=-\frac{3}{2}$
Vậy nghiệm của phương trình là $x_1=3$ hoặc $x_2=-\frac{3}{2}$.

b) Ta có:
$x(x+1)(x+2)(x+3)=24$
Nhóm lại thành $(x(x+3))((x+1)(x+2))=24$
$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=24$
Đặt $t=x^2+3x$, ta có phương trình $t(t+2)=24$
$t^2+2t-24=0$
Phương trình này có dạng $at^2+bt+c=0$, với $a=1$, $b=2$, $c=-24$. Ta tính $\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times (-24)=4+96=100$.
Vì $\Delta>0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+10}{2}=4$
$t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-10}{2}=-6$
Với $t_1=4$, ta có $x^2+3x=4$
$x^2+3x-4=0$
Phương trình này có dạng $ax^2+bx+c=0$, với $a=1$, $b=3$, $c=-4$. Ta tính $\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times 1\times (-4)=9+16=25$.
Vì $\Delta>0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4$
Với $t_2=-6$, ta có $x^2+3x=-6$
$x^2+3x+6=0$
Phương trình này có dạng $ax^2+bx+c=0$, với $a=1$, $b=3$, $c=6$. Ta tính $\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times 1\times 6=9-24=-15$.
Vì $\Delta<0$, nên phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là $x_1=1$ hoặc $x_2=-4$.

Bài 5.
a) Thay $x=3$ vào phương trình (1), ta có:
$$ 3^2 - 4m \cdot 3 - 3m = 2 $$
$$ 9 - 12m - 3m = 2 $$
$$ 9 - 15m = 2 $$
$$ -15m = 2 - 9 $$
$$ -15m = -7 $$
$$ m = \frac{7}{15} $$

Thay $m = \frac{7}{15}$ vào phương trình (1):
$$ x^2 - 4 \left( \frac{7}{15} \right)x - 3 \left( \frac{7}{15} \right) = 2 $$
$$ x^2 - \frac{28}{15}x - \frac{21}{15} = 2 $$
$$ x^2 - \frac{28}{15}x - \frac{21}{15} = 2 $$
$$ x^2 - \frac{28}{15}x - \frac{21}{15} = \frac{30}{15} $$
$$ x^2 - \frac{28}{15}x - \frac{51}{15} = 0 $$
$$ 15x^2 - 28x - 51 = 0 $$

Phương trình này có nghiệm là $x = 3$. Ta tìm nghiệm còn lại bằng cách sử dụng tổng và tích của các nghiệm:
$$ x_1 + x_2 = \frac{28}{15} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = -\frac{51}{15} $$

Vì $x_1 = 3$, ta có:
$$ 3 + x_2 = \frac{28}{15} $$
$$ x_2 = \frac{28}{15} - 3 $$
$$ x_2 = \frac{28}{15} - \frac{45}{15} $$
$$ x_2 = -\frac{17}{15} $$

Vậy nghiệm còn lại là $x = -\frac{17}{15}$.

b) Phương trình (1) có dạng:
$$ x^2 - 4mx - 3m = 2 $$
$$ x^2 - 4mx - 3m - 2 = 0 $$

Theo đề bài, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn:
$$ x_1 - 4x_2 - x_2^2 = 4m + 4 $$

Áp dụng công thức Viète:
$$ x_1 + x_2 = 4m $$
$$ x_1 \cdot x_2 = -3m - 2 $$

Ta có:
$$ x_1 - 4x_2 - x_2^2 = 4m + 4 $$

Thay $x_1 = 4m - x_2$ vào:
$$ (4m - x_2) - 4x_2 - x_2^2 = 4m + 4 $$
$$ 4m - x_2 - 4x_2 - x_2^2 = 4m + 4 $$
$$ 4m - 5x_2 - x_2^2 = 4m + 4 $$
$$ -5x_2 - x_2^2 = 4 $$
$$ x_2^2 + 5x_2 + 4 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} $$
$$ x_2 = \frac{-5 \pm 3}{2} $$
$$ x_2 = -1 \text{ hoặc } x_2 = -4 $$

- Nếu $x_2 = -1$, ta có:
$$ x_1 = 4m - (-1) = 4m + 1 $$
$$ x_1 \cdot x_2 = (4m + 1)(-1) = -3m - 2 $$
$$ -4m - 1 = -3m - 2 $$
$$ -4m + 3m = -2 + 1 $$
$$ -m = -1 $$
$$ m = 1 $$

- Nếu $x_2 = -4$, ta có:
$$ x_1 = 4m - (-4) = 4m + 4 $$
$$ x_1 \cdot x_2 = (4m + 4)(-4) = -3m - 2 $$
$$ -16m - 16 = -3m - 2 $$
$$ -16m + 3m = -2 + 16 $$
$$ -13m = 14 $$
$$ m = -\frac{14}{13} $$

Vậy các giá trị của $m$ là $m = 1$ hoặc $m = -\frac{14}{13}$.

Bài 6.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = |x_1 - x_2| $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm:

Phương trình $ 2x^2 - (m+3)x + m = 0 $ có hai nghiệm khi và chỉ khi:
$$ \Delta = (m+3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot m \geq 0 $$
$$ \Delta = m^2 + 6m + 9 - 8m \geq 0 $$
$$ \Delta = m^2 - 2m + 9 \geq 0 $$

Ta thấy rằng $ m^2 - 2m + 9 $ luôn dương vì nó là tổng của bình phương $ m^2 $ và một hằng số dương 9, trừ đi một số nhỏ hơn 9. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm.

2. Tính $ |x_1 - x_2| $:

Theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
$$ x_1 + x_2 = \frac{m+3}{2} $$
$$ x_1 x_2 = \frac{m}{2} $$

Biểu thức $ |x_1 - x_2| $ có thể viết dưới dạng:
$$ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} $$
$$ |x_1 - x_2| = \sqrt{\left( \frac{m+3}{2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{m}{2}} $$
$$ |x_1 - x_2| = \sqrt{\frac{(m+3)^2}{4} - 2m} $$
$$ |x_1 - x_2| = \sqrt{\frac{m^2 + 6m + 9 - 8m}{4}} $$
$$ |x_1 - x_2| = \sqrt{\frac{m^2 - 2m + 9}{4}} $$
$$ |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{m^2 - 2m + 9}}{2} $$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $:

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ \sqrt{m^2 - 2m + 9} $. Xét biểu thức $ m^2 - 2m + 9 $:
$$ m^2 - 2m + 9 = (m-1)^2 + 8 $$

Nhận thấy rằng $ (m-1)^2 \geq 0 $ với mọi $ m $, do đó:
$$ (m-1)^2 + 8 \geq 8 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ m^2 - 2m + 9 $ là 8, đạt được khi $ m = 1 $.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ \sqrt{m^2 - 2m + 9} $ là $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là:
$$ P_{min} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$

Đáp số: $ P_{min} = \sqrt{2} $