Bjskdjfkkvvvbb Bài II (1,5 điểm).,Cho hai biểu thức $A=\frac{3\sqrt x}{\sqrt x+2}$ và $B=\frac1{\sqrt x+2}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}+\frac{\sqrt x+6}{x-4}$ với $x\geq0,x
e4.$,1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16.2$,2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x-2}.$

Question

Accepted Answer

Bài II
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần 1: Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $

Biểu thức $ A = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} $.

Thay $ x = 16 $ vào biểu thức $ A $:

$$ 
A = \frac{3\sqrt{16}}{\sqrt{16} + 2} = \frac{3 \cdot 4}{4 + 2} = \frac{12}{6} = 2 
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $ là 2.

Phần 2: Chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} $

Biểu thức $ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 6}{x - 4} $.

Đầu tiên, ta viết lại biểu thức $ B $ dưới dạng tổng phân thức:

$$ 
B = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} 
$$

Ta quy đồng mẫu số chung của ba phân thức trên:

$$ 
B = \frac{(\sqrt{x} - 2) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} 
$$

Tính tử số:

$$ 
(\sqrt{x} - 2) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} + 6) = \sqrt{x} - 2 + x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 6 
$$

$$ 
= x + 4\sqrt{x} + 4 
$$

Mẫu số là:

$$ 
(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) = x - 4 
$$

Vậy biểu thức $ B $ trở thành:

$$ 
B = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x - 4} 
$$

Nhận thấy rằng:

$$ 
x + 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} + 2)^2 
$$

Do đó:

$$ 
B = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} 
$$

Vậy ta đã chứng minh được $ B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} $.

Kết luận:
1. Giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $ là 2.
2. Biểu thức $ B $ được chứng minh là $ \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} $.