giúp với ạ 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ,$O(0;0;0),$ mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách,đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí,$A(-688;-185;8),$ chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là,$\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).,a) Xác định toạ độ của vị trí sớm,nhất mà máy bay xuất hiện trên màn,,hình ra đa.,b) Xác định toạ độ của vị trí mà máy,bay bay gần đài kiểm soát không lưu,nhất. Tính khoảng cách giữa máy bay,và đài kiểm soát không lưu lúc đó.,c) Xác định toạ độ của vị trí mà máy,bay ra khỏi màn hình ra đa.

Question

giúp với ạ 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ,$O(0;0;0),$ mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách,đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí,$A(-688;-185;8),$ chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là,$\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).,a) Xác định toạ độ của vị trí sớm,nhất mà máy bay xuất hiện trên màn,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/1fb78db2f28a4868b766df7bf6e110c4.jpg />,hình ra đa.,b) Xác định toạ độ của vị trí mà máy,bay bay gần đài kiểm soát không lưu,nhất. Tính khoảng cách giữa máy bay,và đài kiểm soát không lưu lúc đó.,c) Xác định toạ độ của vị trí mà máy,bay ra khỏi màn hình ra đa.

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Xác định tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa

Máy bay bay theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91, 75, 0)$. Ta viết phương trình tham số của đường thẳng $d$:
$$ 
x = -688 + 91t \
y = -185 + 75t \
z = 8 
$$

Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu $O(0,0,0)$ bằng 417 km. Ta có:
$$ 
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 417 
$$

Thay $x$, $y$, $z$ vào phương trình trên:
$$ 
\sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2} = 417 
$$

Bình phương cả hai vế:
$$ 
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 417^2 
$$

Tính $417^2$:
$$ 
417^2 = 173889 
$$

Do đó:
$$ 
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 173889 
$$
$$ 
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 = 173825 
$$

Phát triển các bình phương:
$$ 
(688 - 91t)^2 = 473344 - 125696t + 8281t^2 
$$
$$ 
(185 - 75t)^2 = 34225 - 27750t + 5625t^2 
$$

Cộng lại:
$$ 
473344 - 125696t + 8281t^2 + 34225 - 27750t + 5625t^2 = 173825 
$$
$$ 
13808t^2 - 153446t + 507569 = 173825 
$$
$$ 
13808t^2 - 153446t + 333744 = 0 
$$

Giải phương trình bậc hai:
$$ 
t = \frac{153446 \pm \sqrt{153446^2 - 4 \cdot 13808 \cdot 333744}}{2 \cdot 13808} 
$$
$$ 
t = \frac{153446 \pm \sqrt{2354640016 - 1810048000}}{27616} 
$$
$$ 
t = \frac{153446 \pm \sqrt{544592016}}{27616} 
$$
$$ 
t = \frac{153446 \pm 23336}{27616} 
$$

Ta có hai giá trị $t$:
$$ 
t_1 = \frac{153446 + 23336}{27616} = \frac{176782}{27616} \approx 6.4 
$$
$$ 
t_2 = \frac{153446 - 23336}{27616} = \frac{130110}{27616} \approx 4.7 
$$

Giá trị $t$ nhỏ hơn là $t_2 \approx 4.7$.

Thay $t = 4.7$ vào phương trình tham số:
$$ 
x = -688 + 91 \cdot 4.7 \approx -688 + 427.7 = -260.3 
$$
$$ 
y = -185 + 75 \cdot 4.7 \approx -185 + 352.5 = 167.5 
$$
$$ 
z = 8 
$$

Vậy tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là:
$$ 
(-260.3, 167.5, 8) 
$$

b) Xác định tọa độ của vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó.

Để máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất, ta cần tìm điểm trên đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ $O(0,0,0)$ là nhỏ nhất. Ta sử dụng phương pháp tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:
$$ 
x = -688 + 91t \
y = -185 + 75t \
z = 8 
$$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (91, 75, 0)$.

Vectơ từ điểm $O(0,0,0)$ đến điểm $A(-688, -185, 8)$ là:
$$ 
\overrightarrow{OA} = (-688, -185, 8) 
$$

Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ là:
$$ 
d = \frac{\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}\|}{\|\overrightarrow{u}\|} 
$$

Tính tích vector $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}$:
$$ 
\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-688 & -185 & 8 \
91 & 75 & 0 
\end{vmatrix} 
= \mathbf{i}((-185 \cdot 0) - (8 \cdot 75)) - \mathbf{j}((-688 \cdot 0) - (8 \cdot 91)) + \mathbf{k}((-688 \cdot 75) - (-185 \cdot 91))
$$
$$ 
= \mathbf{i}(0 - 600) - \mathbf{j}(0 - 728) + \mathbf{k}(-51600 + 16835)
$$
$$ 
= -600\mathbf{i} + 728\mathbf{j} - 34765\mathbf{k}
$$

Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}$:
$$ 
\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}\| = \sqrt{(-600)^2 + 728^2 + (-34765)^2} 
= \sqrt{360000 + 530304 + 1208605225} 
= \sqrt{1209495529} 
= 34777 
$$

Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$:
$$ 
\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{91^2 + 75^2 + 0^2} 
= \sqrt{8281 + 5625} 
= \sqrt{13906} 
= 118 
$$

Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ là:
$$ 
d = \frac{34777}{118} \approx 294.7 
$$

Vậy khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu khi máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất là khoảng 294.7 km.

c) Xác định tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa

Máy bay ra khỏi màn hình ra đa khi khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu $O(0,0,0)$ bằng 417 km. Ta đã tính toán ở phần a) rằng giá trị $t$ lớn hơn là $t_1 \approx 6.4$.

Thay $t = 6.4$ vào phương trình tham số:
$$ 
x = -688 + 91 \cdot 6.4 \approx -688 + 582.4 = -105.6 
$$
$$ 
y = -185 + 75 \cdot 6.4 \approx -185 + 480 = 295 
$$
$$ 
z = 8 
$$

Vậy tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là:
$$ 
(-105.6, 295, 8) 
$$

Đáp số:
a) Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $(-260.3, 167.5, 8)$.

b) Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu khi máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất là khoảng 294.7 km.

c) Tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là $(-105.6, 295, 8)$.