Giải chi tiết Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x-y+6=0$ và $(Q):~(m+3)x+2my+(1-m)z-10=0$,(P) và (Q) vuông góc với nhau. Tìm m để hai mặt phẳng,Nhập đáp án,Đáp án của bạn,1 Nếu đáp án có kết quả là phân số vui lòng nhập theo định dạng là A/B. VD: 12/3

Question

Accepted Answer

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau, ta cần tính toán dựa trên điều kiện vuông góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(P): x - y + 6 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, -1, 0)$.
   - Mặt phẳng $(Q): (m+3)x + 2my + (1-m)z - 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (m+3, 2m, 1-m)$.

2. Điều kiện vuông góc:
   Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0:
   $$
   \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0
   $$
   Tính tích vô hướng:
   $$
   (1, -1, 0) \cdot (m+3, 2m, 1-m) = 1 \cdot (m+3) + (-1) \cdot 2m + 0 \cdot (1-m)
   $$
   $$
   = m + 3 - 2m = -m + 3
   $$

3. Gắn điều kiện vuông góc:
   $$
   -m + 3 = 0
   $$
   Giải phương trình này:
   $$
   -m + 3 = 0 \implies m = 3
   $$

Vậy giá trị của $ m $ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau là $ m = 3 $.

Đáp số: $ m = 3 $.