giải chi tiết hơn Trong không gian Oxyz , cho mặt cẩu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0.$ Xác định toạ độ tâm l,và bán kính R của mặt cầu (S). (1;2; -1) $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$,$ extcircled{A.}~I(1;2;-1),~R=2\sqrt2.$ $B.~I(-1;-2;1),~R=2\sqrt2.$,$C.~I(2;4;-2),~R=\sqrt2.$ $D.~I(2;4;2),~R=8.$

Question

giải chi tiết hơn Trong không gian Oxyz , cho mặt cẩu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0.$ Xác định toạ độ tâm l,và bán kính R của mặt cầu (S). (1;2; -1) $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$,$	extcircled{A.}~I(1;2;-1),~R=2\sqrt2.$ $B.~I(-1;-2;1),~R=2\sqrt2.$,$C.~I(2;4;-2),~R=\sqrt2.$ $D.~I(2;4;2),~R=8.$

Accepted Answer

Để xác định tọa độ tâm $ I $ và bán kính $ R $ của mặt cầu $(S)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương:
   Phương trình mặt cầu ban đầu là:
   $$
   x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 2 = 0
   $$

2. Hoàn thành bình phương cho các biến $ x $, $ y $, và $ z $:
   Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và hoàn thành bình phương:
   $$
   (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + (z^2 + 2z) = 2
   $$
   Ta thêm bớt các hằng số để hoàn thành bình phương:
   $$
   (x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 - 4y + 4 - 4) + (z^2 + 2z + 1 - 1) = 2
   $$
   Điều này dẫn đến:
   $$
   (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z + 1)^2 - 1 = 2
   $$
   Gộp các hằng số vào vế phải:
   $$
   (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 - 6 = 2
   $$
   Do đó:
   $$
   (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 8
   $$

3. Nhận diện tâm và bán kính từ phương trình chuẩn:
   Phương trình chuẩn của mặt cầu là:
   $$
   (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
   $$
   So sánh với phương trình đã hoàn thành bình phương:
   $$
   (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 8
   $$
   Ta nhận thấy rằng tâm $ I $ của mặt cầu là $ (1, 2, -1) $ và bán kính $ R $ là $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $.

Do đó, tọa độ tâm $ I $ và bán kính $ R $ của mặt cầu $(S)$ là:
$$
I(1, 2, -1), \quad R = 2\sqrt{2}
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\textcircled{A.}~I(1, 2, -1),~R = 2\sqrt{2}.
$$