Giúp mình với!
tìm các số a,b sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B :
A=x^3-2x^2+(a-3)x-a-1; B=x-3

Question

Giúp mình với!
tìm các số a,b sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B : 
A=x^3-2x^2+(a-3)x-a-1; B=x-3

Accepted Answer

Để đa thức $ A $ chia hết cho đa thức $ B $, ta cần $ A(3) = 0 $.

Thay $ x = 3 $ vào đa thức $ A $:

$$ A(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + (a - 3) \cdot 3 - a - 1 $$

Tính toán từng bước:

$$ 3^3 = 27 $$
$$ 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 $$
$$ (a - 3) \cdot 3 = 3a - 9 $$

Vậy:

$$ A(3) = 27 - 18 + 3a - 9 - a - 1 $$

Gộp các hạng tử lại:

$$ A(3) = 27 - 18 - 9 - 1 + 3a - a $$
$$ A(3) = -1 + 2a $$

Để $ A $ chia hết cho $ B $, ta cần:

$$ -1 + 2a = 0 $$

Giải phương trình này:

$$ 2a = 1 $$
$$ a = \frac{1}{2} $$

Bây giờ, ta thay $ a = \frac{1}{2} $ vào đa thức $ A $:

$$ A = x^3 - 2x^2 + \left( \frac{1}{2} - 3 \right)x - \frac{1}{2} - 1 $$
$$ A = x^3 - 2x^2 + \left( \frac{1}{2} - \frac{6}{2} \right)x - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} $$
$$ A = x^3 - 2x^2 - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} $$

Ta thấy rằng đa thức $ A $ đã được viết lại với $ a = \frac{1}{2} $. Để đảm bảo $ A $ chia hết cho $ B $, ta cần kiểm tra nếu $ A $ có dạng $ (x - 3)Q(x) $ với $ Q(x) $ là một đa thức bậc 2.

Do đó, ta có:

$$ A = (x - 3)(x^2 + px + q) $$

Phân tích $ A $ để tìm $ p $ và $ q $:

$$ x^3 - 2x^2 - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = (x - 3)(x^2 + px + q) $$

Phân tích $ (x - 3)(x^2 + px + q) $:

$$ (x - 3)(x^2 + px + q) = x^3 + px^2 + qx - 3x^2 - 3px - 3q $$
$$ = x^3 + (p - 3)x^2 + (q - 3p)x - 3q $$

So sánh hệ số với $ x^3 - 2x^2 - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} $:

$$ p - 3 = -2 $$
$$ q - 3p = -\frac{5}{2} $$
$$ -3q = -\frac{3}{2} $$

Giải các phương trình này:

$$ p - 3 = -2 $$
$$ p = 1 $$

$$ -3q = -\frac{3}{2} $$
$$ q = \frac{1}{2} $$

Kiểm tra lại:

$$ q - 3p = \frac{1}{2} - 3 \cdot 1 = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2} $$

Vậy, ta đã tìm được $ a = \frac{1}{2} $ và $ b = 1 $.

Đáp số: $ a = \frac{1}{2} $, $ b = 1 $.

Giúp mình với! tìm các số a,b sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B : A=x^3-2x^2+(a-3)x-a-1; B=x-3