Cho đường tròn (O; R); đường kính AB. Trên đoạn thẳng OA lấy một điểm M bất kỳ (M không trùng với A và O). Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C. Gọi D là điểm chính giữa của cung...

a. Chứng minh tứ giác MCIO nội tiếp: - Ta có $$ vì MC vuông góc với AB. - Ta cũng có $$ vì I là trung điểm của cung BC, nên IO vuông góc với BC. - Vậy tứ giác MCIO có hai góc kề cạnh chung MC là $$ và $$ đều bằng $$, do đó tứ giác MCIO nội tiếp. b. Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MCD lớn nhất: - Diện tích tam giác MCD là $$. - Để diện tích tam giác MCD lớn nhất, ta cần $$ lớn nhất, tức là $$. - Ta có $$ khi và chỉ khi M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD. - Vì D là điểm chính giữa của cung AB, nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD sẽ đi qua điểm O và D. - Do đó, M phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD, tức là M phải nằm trên đường tròn có đường kính OD. - Vậy vị trí của M để diện tích tam giác MCD lớn nhất là M nằm trên đường tròn có đường kính OD.