Giúp mình với! Bài 16: Cho phương trình: $x^2+(m-1)x-m^2+1=0$ (m là tham số). Tìm m để phương,trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn:,$a)~x_1-x_2=3$ $b)~x_1=2x_2$,Bài 17: Cho phương trình: $x^2-4x-m^2=0$ (m là tham số).,Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ sao cho biểu thức $D=|x^2_1-x^2_2|$ đạt,giá trị nhỏ nhất.,Bài 18: Cho phương trình: $x^2+(m-2)x-8=0$ (m là tham số).,Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ sao cho biểu thức $E=(x^2_1-1)(x^2_2-4)$,đạt giá trị lớn nhất.

Question

Accepted Answer

Bài 16:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức Viète và các tính chất của phương trình bậc hai.

Phương trình đã cho là:
$$ x^2 + (m-1)x - m^2 + 1 = 0 $$

Theo công thức Viète, ta có:
$$ x_1 + x_2 = -(m-1) $$
$$ x_1 \cdot x_2 = -m^2 + 1 $$

Phần a) $ x_1 - x_2 = 3 $

Ta có:
$$ x_1 - x_2 = 3 $$

Cộng và trừ hai biểu thức $ x_1 + x_2 $ và $ x_1 - x_2 $:
$$ x_1 = \frac{(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2)}{2} = \frac{-(m-1) + 3}{2} = \frac{-m + 4}{2} $$
$$ x_2 = \frac{(x_1 + x_2) - (x_1 - x_2)}{2} = \frac{-(m-1) - 3}{2} = \frac{-m - 2}{2} $$

Thay vào $ x_1 \cdot x_2 = -m^2 + 1 $:
$$ \left( \frac{-m + 4}{2} \right) \left( \frac{-m - 2}{2} \right) = -m^2 + 1 $$
$$ \frac{(-m + 4)(-m - 2)}{4} = -m^2 + 1 $$
$$ (-m + 4)(-m - 2) = 4(-m^2 + 1) $$
$$ m^2 + 2m - 4m - 8 = -4m^2 + 4 $$
$$ m^2 - 2m - 8 = -4m^2 + 4 $$
$$ 5m^2 - 2m - 12 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 240}}{10} = \frac{2 \pm 16}{10} $$
$$ m = 2 \text{ hoặc } m = -\frac{7}{5} $$

Phần b) $ x_1 = 2x_2 $

Ta có:
$$ x_1 = 2x_2 $$

Thay vào $ x_1 + x_2 = -(m-1) $:
$$ 2x_2 + x_2 = -(m-1) $$
$$ 3x_2 = -(m-1) $$
$$ x_2 = \frac{-(m-1)}{3} $$
$$ x_1 = 2 \left( \frac{-(m-1)}{3} \right) = \frac{-2(m-1)}{3} $$

Thay vào $ x_1 \cdot x_2 = -m^2 + 1 $:
$$ \left( \frac{-2(m-1)}{3} \right) \left( \frac{-(m-1)}{3} \right) = -m^2 + 1 $$
$$ \frac{2(m-1)^2}{9} = -m^2 + 1 $$
$$ 2(m-1)^2 = 9(-m^2 + 1) $$
$$ 2(m^2 - 2m + 1) = -9m^2 + 9 $$
$$ 2m^2 - 4m + 2 = -9m^2 + 9 $$
$$ 11m^2 - 4m - 7 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 308}}{22} = \frac{4 \pm 18}{22} $$
$$ m = 1 \text{ hoặc } m = -\frac{7}{11} $$

Kết luận

a) $ m = 2 $ hoặc $ m = -\frac{7}{5} $

b) $ m = 1 $ hoặc $ m = -\frac{7}{11} $

Bài 17:
Để phương trình $x^2 - 4x - m^2 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$. Ta có:
$$
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2) = 16 + 4m^2 \geq 0
$$
Luôn đúng với mọi $m$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm thực.

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$
x_1 + x_2 = 4
$$
$$
x_1 \cdot x_2 = -m^2
$$

Biểu thức $D = |x_1^2 - x_2^2|$ có thể viết lại thành:
$$
D = |(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)| = |4(x_1 - x_2)| = 4|x_1 - x_2|
$$

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $|x_1 - x_2|$. Ta biết rằng:
$$
(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4^2 - 4(-m^2) = 16 + 4m^2
$$

Do đó:
$$
|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4m^2}
$$

Để $|x_1 - x_2|$ nhỏ nhất, ta cần $16 + 4m^2$ nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $m = 0$.

Khi $m = 0$, ta có:
$$
|x_1 - x_2| = \sqrt{16} = 4
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $D$ là:
$$
D = 4 \times 4 = 16
$$

Đáp số: $m = 0$, giá trị nhỏ nhất của $D$ là 16.

Bài 18:
Để phương trình $x^2 + (m-2)x - 8 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$. Ta có:
$$ \Delta = (m-2)^2 + 32 $$
$$ \Delta = m^2 - 4m + 36 $$

Phương trình có hai nghiệm khi $\Delta \geq 0$, tức là:
$$ m^2 - 4m + 36 \geq 0 $$

Ta thấy rằng $m^2 - 4m + 36$ luôn dương vì nó là tổng của bình phương và số dương, do đó phương trình luôn có hai nghiệm thực.

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$ x_1 + x_2 = -(m-2) $$
$$ x_1 x_2 = -8 $$

Biểu thức $E = (x_1^2 - 1)(x_2^2 - 4)$ có thể viết lại thành:
$$ E = x_1^2 x_2^2 - 4x_1^2 - x_2^2 + 4 $$

Thay $x_1 x_2 = -8$ vào, ta có:
$$ x_1^2 x_2^2 = (-8)^2 = 64 $$

Do đó:
$$ E = 64 - 4x_1^2 - x_2^2 + 4 $$
$$ E = 68 - 4x_1^2 - x_2^2 $$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $E$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (x_1^2 + x_2^2) \geq 2|x_1 x_2| = 2 \cdot 8 = 16 $$

Từ đây, ta có:
$$ 4x_1^2 + x_2^2 \geq 2 \sqrt{4x_1^2 \cdot x_2^2} = 2 \sqrt{4 \cdot 64} = 2 \cdot 16 = 32 $$

Do đó:
$$ E = 68 - (4x_1^2 + x_2^2) \leq 68 - 32 = 36 $$

Giá trị lớn nhất của $E$ là 36, đạt được khi $4x_1^2 = x_2^2$.

Vì $x_1 x_2 = -8$, ta có:
$$ x_2 = -\frac{8}{x_1} $$

Thay vào $4x_1^2 = x_2^2$, ta có:
$$ 4x_1^2 = \left(-\frac{8}{x_1}\right)^2 $$
$$ 4x_1^2 = \frac{64}{x_1^2} $$
$$ 4x_1^4 = 64 $$
$$ x_1^4 = 16 $$
$$ x_1^2 = 4 $$
$$ x_1 = 2 \text{ hoặc } x_1 = -2 $$

Khi $x_1 = 2$, ta có $x_2 = -4$ và ngược lại. Thay vào phương trình ban đầu:
$$ x_1 + x_2 = 2 - 4 = -2 $$
$$ -(m-2) = -2 $$
$$ m-2 = 2 $$
$$ m = 4 $$

Vậy giá trị của $m$ để biểu thức $E$ đạt giá trị lớn nhất là $m = 4$.