cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (o;r) vẽ đường cao ah của tam giác ABC và đường kính ad của đường tròn (o;r) 1) Chứng minh rằng $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{CA}{\sin B}=2R$,2) Chứng minh rằng $S_{ABC}=\frac{AB.BC.CA}{4R}$,3) Gọi M là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng $\frac{HB}{HC}+\frac{MB}{MC}\geq2.\frac{AB}{AC}$

Question

Accepted Answer

1)

Kéo dài $OAS$ cắt $(O)$ tại $D$.

Do $AD$ là đường kính nên $\displaystyle riangle ABD$ vuông tại $B$.

Suy ra
$\displaystyle
\sin \widehat {BDA} = \frac{BA}{AD} = \frac{c}{2R}
$

Mà $\displaystyle \widehat{BDA} =\widehat{BCA} = \hat{C}$ (cùng chắn cung $AB$).

Do đó:
$\displaystyle
\sin C = \sin \widehat{BCA} = \frac{c}{2R} $Suy ra $\frac{c}{\sin C} = 2R
$

Hoàn toàn tương tự, kẻ đường kính từ $B$, $C$ ta thu được:
$\displaystyle
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \quad ext{(đpcm)}$