giúo mình vs ạ Câu 1: Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=(2x-3)^2$,thức $\log_2[3F(1)-2F(2)]$ thỏa mãn $F(0)=\frac13.$ Giá trị của biểu,bằng

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = (2x - 3)^2 $.
2. Áp dụng điều kiện $ F(0) = \frac{1}{3} $ để xác định hằng số tích phân.
3. Tính giá trị của $ F(1) $ và $ F(2) $.
4. Tính biểu thức $ 3F(1) - 2F(2) $.
5. Tính giá trị của biểu thức $ \log_2[3F(1) - 2F(2)] $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = (2x - 3)^2 $.

Ta có:
$$ f(x) = (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 $$

Tìm nguyên hàm của $ f(x) $:
$$ F(x) = \int (4x^2 - 12x + 9) \, dx = \frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x + C $$

Bước 2: Áp dụng điều kiện $ F(0) = \frac{1}{3} $ để xác định hằng số tích phân $ C $.

$$ F(0) = \frac{4(0)^3}{3} - 6(0)^2 + 9(0) + C = \frac{1}{3} $$
$$ C = \frac{1}{3} $$

Vậy:
$$ F(x) = \frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x + \frac{1}{3} $$

Bước 3: Tính giá trị của $ F(1) $ và $ F(2) $.

$$ F(1) = \frac{4(1)^3}{3} - 6(1)^2 + 9(1) + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} - 6 + 9 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{5}{3} + 3 = \frac{5}{3} + \frac{9}{3} = \frac{14}{3} $$

$$ F(2) = \frac{4(2)^3}{3} - 6(2)^2 + 9(2) + \frac{1}{3} = \frac{32}{3} - 24 + 18 + \frac{1}{3} = \frac{32}{3} + \frac{1}{3} - 6 = \frac{33}{3} - 6 = 11 - 6 = 5 $$

Bước 4: Tính biểu thức $ 3F(1) - 2F(2) $.

$$ 3F(1) - 2F(2) = 3 \left( \frac{14}{3} \right) - 2(5) = 14 - 10 = 4 $$

Bước 5: Tính giá trị của biểu thức $ \log_2[3F(1) - 2F(2)] $.

$$ \log_2[3F(1) - 2F(2)] = \log_2(4) = 2 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ \log_2[3F(1) - 2F(2)] $ là $ 2 $.