giúp mình vs ạ Câu 2: Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}$ trên khoảng $(-\infty;1)$ thỏa mãn điều kiện,$F(0)=1.$ Tìm a khi $F(1-e)=\frac12e^2-2e.$

Question

Accepted Answer

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1} $.
2. Áp dụng điều kiện $ F(0) = 1 $ để xác định hằng số tích phân.
3. Thay $ x = 1 - e $ vào $ F(x) $ và sử dụng điều kiện $ F(1 - e) = \frac{1}{2}e^2 - 2e $ để tìm giá trị của $ a $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm $ F(x) $

Ta có:
$$ f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1} $$

Chúng ta thực hiện phép chia đa thức:
$$ \frac{x^2 + a}{x - 1} = x + 1 + \frac{a + 1}{x - 1} $$

Do đó:
$$ f(x) = x + 1 + \frac{a + 1}{x - 1} $$

Tìm nguyên hàm của $ f(x) $:
$$ F(x) = \int \left( x + 1 + \frac{a + 1}{x - 1} \right) dx $$
$$ F(x) = \int x \, dx + \int 1 \, dx + \int \frac{a + 1}{x - 1} \, dx $$
$$ F(x) = \frac{x^2}{2} + x + (a + 1) \ln |x - 1| + C $$

Bước 2: Áp dụng điều kiện $ F(0) = 1 $

Thay $ x = 0 $ vào $ F(x) $:
$$ F(0) = \frac{0^2}{2} + 0 + (a + 1) \ln |0 - 1| + C $$
$$ F(0) = (a + 1) \ln 1 + C $$
$$ F(0) = C $$

Theo điều kiện $ F(0) = 1 $:
$$ C = 1 $$

Do đó:
$$ F(x) = \frac{x^2}{2} + x + (a + 1) \ln |x - 1| + 1 $$

Bước 3: Thay $ x = 1 - e $ vào $ F(x) $ và sử dụng điều kiện $ F(1 - e) = \frac{1}{2}e^2 - 2e $

Thay $ x = 1 - e $ vào $ F(x) $:
$$ F(1 - e) = \frac{(1 - e)^2}{2} + (1 - e) + (a + 1) \ln |1 - e - 1| + 1 $$
$$ F(1 - e) = \frac{1 - 2e + e^2}{2} + 1 - e + (a + 1) \ln |-e| + 1 $$
$$ F(1 - e) = \frac{1 - 2e + e^2}{2} + 1 - e + (a + 1) \ln e + 1 $$
$$ F(1 - e) = \frac{1 - 2e + e^2}{2} + 1 - e + (a + 1) + 1 $$
$$ F(1 - e) = \frac{1 - 2e + e^2}{2} + 2 - e + a + 1 $$
$$ F(1 - e) = \frac{1 - 2e + e^2}{2} + 3 - e + a $$

Theo điều kiện $ F(1 - e) = \frac{1}{2}e^2 - 2e $:
$$ \frac{1 - 2e + e^2}{2} + 3 - e + a = \frac{1}{2}e^2 - 2e $$

Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số:
$$ 1 - 2e + e^2 + 6 - 2e + 2a = e^2 - 4e $$
$$ 1 + 6 + e^2 - 2e - 2e + 2a = e^2 - 4e $$
$$ 7 + e^2 - 4e + 2a = e^2 - 4e $$

Trừ $ e^2 - 4e $ từ cả hai vế:
$$ 7 + 2a = 0 $$
$$ 2a = -7 $$
$$ a = -\frac{7}{2} $$

Vậy giá trị của $ a $ là:
$$ \boxed{-\frac{7}{2}} $$