Vuytszgxgsgssy Câu 6:,Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách từ C đến,B là 4km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây,điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng (hình vẽ mô tả đường dây từ A đến M,được lắp trên đất liền, từ M đến C được lắp trên biển). Tính chi phí lắp đặt nhỏ nhất có thể đạt được,(đơn vị triệu đồng).,

Question

Vuytszgxgsgssy Câu 6:,Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách từ C đến,B là 4km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây,điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng (hình vẽ mô tả đường dây từ A đến M,được lắp trên đất liền, từ M đến C được lắp trên biển). Tính chi phí lắp đặt nhỏ nhất có thể đạt được,(đơn vị triệu đồng).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/a51c56ba439042efb784bd0c9d7130e3.jpg />

Accepted Answer

Câu 6:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đạo hàm.

1. Đặt ẩn và lập phương trình chi phí:
   Gọi khoảng cách từ B đến M là $ x $ km (0 ≤ $ x $ ≤ 10).

- Chi phí lắp đặt trên đất liền từ A đến M:
     $$
     30 \times (10 - x) \text{ triệu đồng}
     $$

- Chi phí lắp đặt trên biển từ M đến C:
     $$
     50 \times \sqrt{x^2 + 4^2} = 50 \times \sqrt{x^2 + 16} \text{ triệu đồng}
     $$

Tổng chi phí lắp đặt là:
   $$
   f(x) = 30(10 - x) + 50\sqrt{x^2 + 16}
   $$
   $$
   f(x) = 300 - 30x + 50\sqrt{x^2 + 16}
   $$

2. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = -30 + 50 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}
   $$

3. Tìm điểm cực tiểu:
   Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của $ x $:
   $$
   -30 + 50 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} = 0
   $$
   $$
   50 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} = 30
   $$
   $$
   \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} = \frac{3}{5}
   $$
   $$
   x = \frac{3}{5} \sqrt{x^2 + 16}
   $$
   $$
   5x = 3 \sqrt{x^2 + 16}
   $$
   $$
   25x^2 = 9(x^2 + 16)
   $$
   $$
   25x^2 = 9x^2 + 144
   $$
   $$
   16x^2 = 144
   $$
   $$
   x^2 = 9
   $$
   $$
   x = 3 \quad (\text{vì } x \geq 0)
   $$

4. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực tiểu:
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     f(0) = 300 - 30 \cdot 0 + 50 \sqrt{0^2 + 16} = 300 + 50 \cdot 4 = 500 \text{ triệu đồng}
     $$

- Tại $ x = 3 $:
     $$
     f(3) = 300 - 30 \cdot 3 + 50 \sqrt{3^2 + 16} = 300 - 90 + 50 \sqrt{25} = 300 - 90 + 50 \cdot 5 = 300 - 90 + 250 = 460 \text{ triệu đồng}
     $$

- Tại $ x = 10 $:
     $$
     f(10) = 300 - 30 \cdot 10 + 50 \sqrt{10^2 + 16} = 300 - 300 + 50 \sqrt{116} = 50 \sqrt{116} \approx 50 \cdot 10.77 = 538.5 \text{ triệu đồng}
     $$

5. Kết luận:
   Giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí lắp đặt là 460 triệu đồng, đạt được khi $ x = 3 $ km.

Đáp số: 460 triệu đồng.