Giúp mình với! 2) Cho đa thức $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ (với $a,b,c\in\mathbb R).$ Biết đa thức $f(x)$ chia cho đa thức,$X+1~dư~-2$ và chia cho đa thức $X-2$ dư 7 . Tính giá trị của biểu thức,$Q=(2024a+2022b+c)^{2023}+1.$

Question

Accepted Answer

{"userId":5231869,"userName":"응우옌 판 안 둥"}

Theo định lý về phép chia đa thức dư (Định lý Bézout), số dư khi chia đa thức $f(x)$ cho nhị thức $x-k$ chính là $f(k)$.

Áp dụng định lý này:

1. Đa thức $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ chia cho đa thức $x+1$ (tức là $x-(-1)$) dư $-2$.

Do đó, ta có $f(-1) = -2$.

$f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c$.

Suy ra: $-1 + a - b + c = -2$

$\Rightarrow a - b + c = -1$ (1)

2. Đa thức $f(x)$ chia cho đa thức $x-2$ dư $7$.

Do đó, ta có $f(2) = 7$.

$f(2) = (2)^3 + a(2)^2 + b(2) + c = 8 + 4a + 2b + c$.

Suy ra: $8 + 4a + 2b + c = 7$

$\Rightarrow 4a + 2b + c = -1$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} a - b + c = -1 \ 4a + 2b + c = -1 \end{cases}$

Lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1) vế theo vế:

$(4a + 2b + c) - (a - b + c) = (-1) - (-1)$

$4a + 2b + c - a + b - c = 0$

$3a + 3b = 0$

$3(a + b) = 0$

$a + b = 0 \Rightarrow b = -a$

Thay $b = -a$ vào phương trình (1):

$a - (-a) + c = -1$

$a + a + c = -1$

$2a + c = -1$

Bây giờ, ta xét biểu thức $2024a + 2022b + c$.

Thay $b = -a$ vào biểu thức này:

$2024a + 2022(-a) + c = 2024a - 2022a + c = 2a + c$

Vì $2a + c = -1$, nên $2024a + 2022b + c = -1$.

Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức $Q$:

$Q = (2024a + 2022b + c)^{2023} + 1$

$Q = (-1)^{2023} + 1$

Do 2023 là số lẻ nên $(-1)^{2023} = -1$.

$Q = -1 + 1$

$Q = 0$

Vậy giá trị của biểu thức $Q$ là $0$.