Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (
0

Question

Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (
0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho  0
90MON  . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K
là giao điểm của ON với BE
1. Chứng minh MON vuông cân
2. Chứng minh MN song song với BE
3. Chứng minh CK vuông góc với BE
4. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh KC/KB+KN/KH+CN/BH=1

Accepted Answer

1)

Ta có $\bar{B} \overline{O C}=90^{\circ} \Rightarrow \overrightarrow{C O N}+\widehat{B O N}=90^{\circ}$; vì

$\overline{M O} \bar{N}=90^{\circ} \Rightarrow \overline{B O M}+\widehat{B O N}=90^{\circ} \Rightarrow \overline{B O M}=\widehat{C O N}$

$-T$ a có BD là phân giác góc $\mathrm{ABC} \Rightarrow \widehat{M B O}=\widehat{C B O}=\frac{\overline{B O} \bar{C}}{2}=45^{\circ}$
Tương tự ta có $\widehat{N C O}=\widehat{D C O}=\frac{\overline{B O C}}{2}=45^{\circ}$ Vậy ta có $\widehat{M B O}=\widehat{N C O}$
Xét $ riangle O B M$ và $ riangle O C N$ có $\mathrm{OB}=\mathrm{OC} ; \overline{B O M}=\widehat{C O N} ; \widetilde{M B O}=\widehat{N C O} \Rightarrow$ $ riangle O B M= riangle O C N \Rightarrow O M=O N$
Xét $ riangle M O N$ có $\widehat{M O N}=90^{\circ} ; O M=O N \Rightarrow riangle M O N$ vuông cân

2)

\begin{equation}
\begin{aligned}
& ext { - } riangle O B M= riangle O C N \Rightarrow M B=N C ; ext { mà } \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \
& \Rightarrow A B-M B=B C-N C \Rightarrow A M=B M \Rightarrow \frac{A M}{M B}=\frac{B N}{N C} \
& ext {Ta có } \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} \Rightarrow A M / / C E \Rightarrow \frac{A N}{N E}=\frac{B N}{N C} \
& ext {Vậy ta có } \Rightarrow \frac{A M}{M B}=\frac{A N}{N ?} \Rightarrow M N / / B E ext { ( theo định ký ta lét đảo ) }
\end{aligned}
\end{equation}

3)

Vì MN//BE $\Rightarrow \bar{B} \bar{K} \bar{N}=\bar{M} \bar{N} \bar{O}=45^{\circ}$ ( đòng vị và có tam giác MON vuông cân)
$\Rightarrow riangle B N K- riangle O N C$ (vì có $\widehat{B N K}=\widehat{O N K} ; \overline{B K N}=\widehat{O C N}=45^{\circ}$ ) $\Rightarrow \frac{N B}{N K}=\frac{N O}{N C}$
Xét $ riangle B N O ; riangle K N C$ có $\overline{B N O}=\overline{C N K} ; \frac{N B}{N K}=\frac{N O}{N C} \Rightarrow riangle B N O- riangle K N C \Rightarrow \overline{N K C}=\widehat{N B 0}=45^{\circ}$
Vậy ta có $\quad \bar{B} \bar{K} \bar{C}=\bar{B} \bar{K} \bar{N}+\overline{C K} \bar{N}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ} \Rightarrow C K \perp B E$

4)

Vì KH//OM mà $M K \perp O M \Rightarrow M K \perp K H \Rightarrow \overrightarrow{N K H}=90^{\circ}$, mà

$\overrightarrow{N K C}=45^{\circ} \Rightarrow \overrightarrow{C K H}=45^{\circ} \Rightarrow \overline{B K N}=\widehat{N K C}=\overrightarrow{C K H}=45^{\circ}$
Xét $\Delta B K C$ có $\bar{B} \bar{K} \bar{N}=\overrightarrow{N K C} \Rightarrow K N$ là phân giác trong của $\Delta B K C$, mà $K H \perp K N \Rightarrow K H$ là phân giác ngoài của $\Delta B K C \Rightarrow \frac{K C}{K B}=\frac{H C}{H B}$.
Chứng minh tương tự ta có $\Rightarrow \frac{K N}{K H}=\frac{B N}{B H}$
Vậy ta có $\frac{K C}{K B}+\frac{K N}{K H}+\frac{N C}{B H}=\frac{H C}{H B}+\frac{B N}{B H}+\frac{C N}{B H}=\ldots=\frac{B H}{B H}=1$

Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M ( 0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho  0 90MON  . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE...