helpppp meeeeeee 3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^2-(m+2)x+2m=0$ có hai nghiệm,phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $2(x^2_1+x^2_2)=20-x_1x_2$

Question

Accepted Answer

Để phương trình $x^2 - (m+2)x + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện:
$$ \Delta = (m+2)^2 - 4 \cdot 2m > 0 $$
$$ \Delta = m^2 + 4m + 4 - 8m > 0 $$
$$ \Delta = m^2 - 4m + 4 > 0 $$
$$ \Delta = (m-2)^2 > 0 $$

Điều kiện này luôn đúng trừ khi $m = 2$. Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m \neq 2$.

Theo hệ thức Viète, ta có:
$$ x_1 + x_2 = m + 2 $$
$$ x_1 x_2 = 2m $$

Ta cần thỏa mãn điều kiện:
$$ 2(x_1^2 + x_2^2) = 20 - x_1 x_2 $$

Biến đổi:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = (m + 2)^2 - 2 \cdot 2m $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = m^2 + 4m + 4 - 4m $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = m^2 + 4 $$

Thay vào điều kiện ban đầu:
$$ 2(m^2 + 4) = 20 - 2m $$
$$ 2m^2 + 8 = 20 - 2m $$
$$ 2m^2 + 2m - 12 = 0 $$
$$ m^2 + m - 6 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} $$
$$ m = \frac{-1 \pm 5}{2} $$

Có hai nghiệm:
$$ m = 2 \quad \text{và} \quad m = -3 $$

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m \neq 2$, nên ta loại $m = 2$.

Vậy giá trị của tham số $m$ là:
$$ m = -3 $$