Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AE, BF (E thuộc BC, F thuộc AC) cắt nhau tại H. Gọi AD là đường kính và O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; hai điểm M,N lần lượt là trung điểm BC, A...

a) Ta có $$ nên E, F thuộc đường tròn đường kính AB. Do đó $$ (cùng chắn cung EB). Mặt khác $$ (góc ngoài tam giác ABE) và $$ (góc ngoài tam giác AFC). Từ đó suy ra $$. Vậy $$ nên tứ giác CEHF nội tiếp. b) Ta có $$ (cùng chắn cung BC). Mặt khác $$ (góc ngoài tam giác ABE) và $$ (góc ngoài tam giác DCH). Từ đó suy ra $$. Ta lại có $$ (cùng chắn cung AC). Vậy tam giác ABH đồng dạng với tam giác CDH (g-g). Từ đó ta có $$. Hay $$. Từ đó ta có $$. Vậy $$. c) Ta có $$ (I thuộc tia phân giác của góc CAH). Mặt khác $$ (cùng chắn cung BC). Từ đó suy ra $$. Vậy I thuộc đường thẳng đi qua đỉnh H và cắt cạnh BC tại điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Nhưng ta đã biết M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AH nên đường thẳng đi qua đỉnh H và cắt cạnh BC tại điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là đường thẳng đi qua M và N. Vậy I, M, N thẳng hàng. Câu 1. a) Để lập bảng phân bố tần số và tính tần số tương đối của điểm 7, chúng ta thực hiện các bước sau: - Đếm số lần xuất hiện của mỗi điểm số: - Điểm 6: 4 lần - Điểm 7: 5 lần - Điểm 8: 6 lần - Điểm 9: 3 lần - Tổng số học sinh là 20. Bảng phân bố tần số: | Điểm | Tần số | |------|--------| | 6 | 4 | | 7 | 5 | | 8 | 6 | | 9 | 3 | Tần số tương đối của điểm 7: $$ b) Để tính xác suất của biến cố "Trong hai bạn được chọn có bạn nữ", chúng ta thực hiện các bước sau: - Số cách chọn 2 bạn từ 4 bạn: $$ - Số cách chọn 2 bạn sao cho có 1 bạn nữ và 1 bạn nam: $$ Xác suất của biến cố "Trong hai bạn được chọn có bạn nữ": $$ Đáp số: a) Tần số tương đối của điểm 7 là 0.25. b) Xác suất của biến cố "Trong hai bạn được chọn có bạn nữ" là 0.5. Câu 2. a) Tính giá trị biểu thức $$ Ta có: $$ $$ $$ $$ b) Cho hàm số $$ có đồ thị như hình vẽ: Tìm hệ số a. Hàm số $$ là hàm bậc hai, đồ thị của nó là một parabol. Để tìm hệ số a, ta cần biết tọa độ của một điểm trên đồ thị. Giả sử đồ thị đi qua điểm $$, ta thay vào phương trình: $$ $$ Vậy hệ số a là 2. c) Cho $$ $$ Hãy rút gọn biểu thức: Điều kiện xác định: $$ Rút gọn từng phần: $$ $$ Cộng hai phân thức: $$ Phần còn lại: $$ Rút gọn biểu thức P: $$ Vậy biểu thức rút gọn là: $$ Câu 3. a) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ b) Gọi theo dự định công ty cần $$ công nhân và làm trong $$ ngày. Số công việc mà 1 công nhân làm trong 1 ngày là $$ (công việc) Nếu công ty điều thêm 15 công nhân thì công việc hoàn thành sớm 3 ngày so với dự định nên số công việc mà 1 công nhân làm trong 1 ngày là $$ (công việc) Nếu công ty bớt đi 10 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày nữa mới hoàn thành công việc nên số công việc mà 1 công nhân làm trong 1 ngày là $$ (công việc) Ta có: $$ Suy ra: $$ Từ $$ suy ra $$ Suy ra $$ (1) Từ $$ suy ra $$ Suy ra $$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $$ $$ $$ Thay vào (1) ta được $$ $$ $$ Đáp số: 60 công nhân, 15 ngày Câu 4. a) Ta có $$ nên CEFB là tứ giác nội tiếp. Suy ra $$. Mặt khác $$ (cùng bù với $$) nên $$. Vậy CEHF là tứ giác nội tiếp. b) Ta có $$ nên ACDH là tứ giác nội tiếp. Suy ra $$. Ta lại có $$ (cùng chắn cung CD) nên $$. Từ đó ta có $$ đồng dạng với $$ (g-g). Suy ra $$ hay $$. Tương tự ta có $$. Vậy $$. Mặt khác ta có $$. Vậy $$. c) Ta có $$ và $$ nên $$. Mặt khác $$ nên $$. Từ đó ta có $$ và $$. Vậy $$ đồng dạng với $$ (g-g) và $$ đồng dạng với $$ (g-g). Suy ra $$. Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.