Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 3: Cho 2 biểu thức $P=\frac{x+3}{x-2}$ và $Q=\frac{x-1}{x+2}+\frac{5x-2}{x^2-4}$ với $x0;x
e\pm2$,a) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=-3$ b) Chứng minh : $Q=\frac x{x-2}$,c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $\frac QP$ có giá trị nguyên.,Bài 4. Cho hai biểu thức $P=\frac{x^2+x}{x+3}$ và $Q=\frac1{x-1}+\frac1{x+1}-\frac{3-x}{x^2-1}$ với $x
e\pm1,~x
e-3.$,a) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=2$ b) Rút gọn biểu thức Q,b) Đặt $M=P.Q.$ Tìm các giá trị của x để $|M|=\frac32.$ d) Tìm giá trị nhỏ nhất của M với $x\in\mathbb N.$,Bài 5. Cho biểu thức $A=\frac{x+1}{x^2-2x}$ và $B=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{4-x^2}$ với $x
e\pm2;x
e-1.$,a) Tính giá trị của A khi $|x-2|=1.$ b) Chứng minh $B=\frac8{x-2}$,c) Đặt $P=B:A.$ Rút gọn biểu thức P. e) Tìm x nguyên dương để P là số tự nhiên.

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 3: Cho 2 biểu thức $P=\frac{x+3}{x-2}$ và $Q=\frac{x-1}{x+2}+\frac{5x-2}{x^2-4}$ với $x>0;x
e\pm2$,a) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=-3$ b) Chứng minh : $Q=\frac x{x-2}$,c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $\frac QP$ có giá trị nguyên.,Bài 4. Cho hai biểu thức $P=\frac{x^2+x}{x+3}$ và $Q=\frac1{x-1}+\frac1{x+1}-\frac{3-x}{x^2-1}$ với $x
e\pm1,~x
e-3.$,a) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=2$ b) Rút gọn biểu thức Q,b) Đặt $M=P.Q.$ Tìm các giá trị của x để $|M|=\frac32.$ d) Tìm giá trị nhỏ nhất của M với $x\in\mathbb N.$,Bài 5. Cho biểu thức $A=\frac{x+1}{x^2-2x}$ và $B=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{4-x^2}$ với $x
e\pm2;x
e-1.$,a) Tính giá trị của A khi $|x-2|=1.$ b) Chứng minh $B=\frac8{x-2}$,c) Đặt $P=B:A.$ Rút gọn biểu thức P. e) Tìm x nguyên dương để P là số tự nhiên.

Accepted Answer

Bài 3:
a) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=-3$

Thay $x=-3$ vào biểu thức $P$, ta được:

$P=\frac{-3+3}{-3-2}=\frac{0}{-5}=0$

Vậy giá trị của biểu thức $P$ khi $x=-3$ là 0.

b) Chứng minh: $Q=\frac{x}{x-2}$

Ta có:

$Q=\frac{x-1}{x+2}+\frac{5x-2}{x^2-4}$

$=\frac{x-1}{x+2}+\frac{5x-2}{(x+2)(x-2)}$

$=\frac{(x-1)(x-2)+(5x-2)}{(x+2)(x-2)}$

$=\frac{x^2-x-2x+2+5x-2}{(x+2)(x-2)}$

$=\frac{x^2+2x}{(x+2)(x-2)}$

$=\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}$

$=\frac{x}{x-2}$

Vậy ta đã chứng minh được $Q=\frac{x}{x-2}$.

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $\frac{Q}{P}$ có giá trị nguyên.

Ta có:

$\frac{Q}{P}=\frac{\frac{x}{x-2}}{\frac{x+3}{x-2}}=\frac{x}{x-2}\times\frac{x-2}{x+3}=\frac{x}{x+3}$

Để $\frac{Q}{P}$ có giá trị nguyên, thì $\frac{x}{x+3}$ phải có giá trị nguyên.

Điều này xảy ra khi $x+3$ là ước của $x$.

Ta xét các trường hợp:

- Nếu $x+3=1$, thì $x=-2$ (loại vì $x>0$)
- Nếu $x+3=-1$, thì $x=-4$ (loại vì $x>0$)
- Nếu $x+3=x$, thì vô lý.
- Nếu $x+3=3$, thì $x=0$ (loại vì $x>0$)
- Nếu $x+3=-3$, thì $x=-6$ (loại vì $x>0$)

Do đó, không có giá trị nguyên nào của $x$ thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy không có giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $\frac{Q}{P}$ có giá trị nguyên.

Bài 4.
a) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x=2$

Thay $x=2$ vào biểu thức $P$, ta được:
$$ P = \frac{2^2 + 2}{2 + 3} = \frac{4 + 2}{5} = \frac{6}{5} $$

b) Rút gọn biểu thức $Q$

Ta có:
$$ Q = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{3-x}{x^2-1} $$
$$ Q = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{3-x}{(x-1)(x+1)} $$

Tìm mẫu chung của các phân số:
$$ Q = \frac{(x+1) + (x-1) - (3-x)}{(x-1)(x+1)} $$
$$ Q = \frac{x + 1 + x - 1 - 3 + x}{(x-1)(x+1)} $$
$$ Q = \frac{3x - 3}{(x-1)(x+1)} $$
$$ Q = \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)} $$
$$ Q = \frac{3}{x+1} $$

c) Đặt $M = P.Q$. Tìm các giá trị của $x$ để $|M| = \frac{3}{2}$

Ta có:
$$ M = P.Q = \left( \frac{x^2 + x}{x + 3} \right) \left( \frac{3}{x + 1} \right) $$
$$ M = \frac{3(x^2 + x)}{(x + 3)(x + 1)} $$

Yêu cầu $|M| = \frac{3}{2}$, ta có:
$$ \left| \frac{3(x^2 + x)}{(x + 3)(x + 1)} \right| = \frac{3}{2} $$
$$ \frac{3|x^2 + x|}{|(x + 3)(x + 1)|} = \frac{3}{2} $$
$$ |x^2 + x| = \frac{|(x + 3)(x + 1)|}{2} $$

Xét các trường hợp:

1. $x^2 + x = \frac{(x + 3)(x + 1)}{2}$
$$ 2(x^2 + x) = (x + 3)(x + 1) $$
$$ 2x^2 + 2x = x^2 + 4x + 3 $$
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
$$ (x - 3)(x + 1) = 0 $$
$$ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 $$

2. $x^2 + x = -\frac{(x + 3)(x + 1)}{2}$
$$ 2(x^2 + x) = -(x + 3)(x + 1) $$
$$ 2x^2 + 2x = -x^2 - 4x - 3 $$
$$ 3x^2 + 6x + 3 = 0 $$
$$ x^2 + 2x + 1 = 0 $$
$$ (x + 1)^2 = 0 $$
$$ x = -1 $$

Do $x \neq -1$, ta loại $x = -1$. Vậy giá trị của $x$ là $x = 3$.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$ với $x \in \mathbb{N}$

Ta có:
$$ M = \frac{3(x^2 + x)}{(x + 3)(x + 1)} $$

Xét các giá trị tự nhiên của $x$:

- Với $x = 0$: 
$$ M = \frac{3(0^2 + 0)}{(0 + 3)(0 + 1)} = 0 $$

- Với $x = 1$: 
$$ M = \frac{3(1^2 + 1)}{(1 + 3)(1 + 1)} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3}{4} $$

- Với $x = 2$: 
$$ M = \frac{3(2^2 + 2)}{(2 + 3)(2 + 1)} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 3} = \frac{6}{5} $$

- Với $x = 3$: 
$$ M = \frac{3(3^2 + 3)}{(3 + 3)(3 + 1)} = \frac{3 \cdot 12}{6 \cdot 4} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $0$, đạt được khi $x = 0$.

Đáp số:
a) $\frac{6}{5}$
b) $\frac{3}{x+1}$
c) $x = 3$
d) Giá trị nhỏ nhất của $M$ là $0$, đạt được khi $x = 0$.

Bài 5.
a) Ta có $|x-2|=1$
Suy ra $x-2=1$ hoặc $x-2=-1$
Suy ra $x=3$ hoặc $x=1$
Thay $x=3$ vào biểu thức $A$, ta được $A=\frac{3+1}{3^2-2\times3}=\frac{4}{3}$
Thay $x=1$ vào biểu thức $A$, ta được $A=\frac{1+1}{1^2-2\times1}=-2$
Vậy giá trị của $A$ là $\frac{4}{3}$ hoặc $-2$
b) Ta có $B=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{4-x^2}$
$=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}+\frac{16}{x^2-4}$
$=\frac{(x+2)^2-(x-2)^2+16}{(x-2)(x+2)}$
$=\frac{x^2+4x+4-x^2+4x-4+16}{(x-2)(x+2)}$
$=\frac{8x+16}{(x-2)(x+2)}$
$=\frac{8(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
$=\frac{8}{x-2}$
c) Ta có $P=B:A$
$=\frac{8}{x-2}:\frac{x+1}{x(x-2)}$
$=\frac{8}{x-2}\times\frac{x(x-2)}{x+1}$
$=\frac{8x}{x+1}$
d) Ta có $P=\frac{8x}{x+1}$
$=\frac{8(x+1)-8}{x+1}$
$=8-\frac{8}{x+1}$
Để $P$ là số tự nhiên thì $\frac{8}{x+1}$ phải là số tự nhiên.
Mà $x$ là số nguyên dương nên $x+1>1$
Do đó $x+1$ là ước của 8 lớn hơn 1.
Vậy $x+1=2;4;8$
Suy ra $x=1;3;7$
Vậy $x=1;3;7$ thì $P$ là số tự nhiên.