Câu 2.
1) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy:
Đồ thị của hàm số là một parabol hướng xuống, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0). Ta có thể vẽ bằng cách lấy một vài điểm trên đồ thị:
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
2) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d):
Để tìm giao điểm của (P) và (d), ta giải hệ phương trình:
Thay từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
Nhân cả hai vế với -2 để loại bỏ phân số:
Di chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải bằng công thức:
Ở đây, , , . Thay vào công thức:
Ta có hai nghiệm:
Tìm tung độ tương ứng:
- Khi ,
- Khi ,
Vậy tọa độ giao điểm là và .
3) Tìm tọa độ của điểm M thuộc đồ thị của (P) biết M có tung độ bằng -8:
Thay vào phương trình của (P):
Nhân cả hai vế với -2:
Giải phương trình bậc hai:
Vậy tọa độ của điểm M là và .
4) Tìm tọa độ của điểm N thuộc đồ thị của (P) biết N có hoành độ bằng -3:
Thay vào phương trình của (P):
Vậy tọa độ của điểm N là .
Câu 3.
1) Vẽ đồ thị (P):
Đồ thị của hàm số là một parabol hướng xuống, đỉnh ở điểm (0, 0). Ta có thể vẽ đồ thị này bằng cách lấy một vài giá trị của x và tính y tương ứng:
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
2) Tìm giá trị của tham số thực m để parabol (P) và đường thẳng có hai điểm chung:
Để parabol (P) và đường thẳng (d) có hai điểm chung, phương trình hoành độ giao điểm của chúng phải có hai nghiệm phân biệt. Ta đặt phương trình hoành độ giao điểm:
Rearrange the equation to standard quadratic form:
Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, дискриминант должен быть больше нуля:
Giải bất phương trình:
Vậy giá trị của tham số thực m để parabol (P) và đường thẳng (d) có hai điểm chung là:
Câu 4.
Để giải quyết yêu cầu trên, ta sẽ sử dụng công thức delta () của phương trình bậc hai , với .
Phương trình đã cho là , do đó:
-
-
-
Tính :
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi :
b) Phương trình vô nghiệm khi :
c) Phương trình có nghiệm kép khi :
Khi , phương trình có nghiệm kép. Ta tìm nghiệm kép này bằng cách sử dụng công thức nghiệm kép:
Vậy, nghiệm kép của phương trình là .
Kết luận:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi .
b) Phương trình vô nghiệm khi .
c) Phương trình có nghiệm kép khi và nghiệm kép là .
Câu 5.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức delta () của phương trình bậc hai , trong đó .
Phương trình đã cho là , với , , và .
a) Phương trình có nghiệm kép khi .
Để phương trình có nghiệm kép:
hoặc
Nghiệm kép của phương trình là:
- Khi :
- Khi :
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi .
Điều này xảy ra khi hoặc .
c) Phương trình vô nghiệm khi .
Điều này xảy ra khi .
Kết luận:
a) Phương trình có nghiệm kép khi hoặc . Nghiệm kép lần lượt là và .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi hoặc .
c) Phương trình vô nghiệm khi .
Câu 6.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép, ta cần xét dấu của biệt thức .
Phương trình có:
- Hai nghiệm phân biệt nếu
- Vô nghiệm nếu
- Nghiệm kép nếu
Biệt thức của phương trình là:
1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2. Phương trình vô nghiệm:
3. Phương trình có nghiệm kép:
Khi , phương trình trở thành:
Vậy nghiệm kép của phương trình là .
Kết luận:
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
- Phương trình có nghiệm kép khi , nghiệm kép là .
Câu 7.
Để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt và , ta xét phương trình này dưới dạng phương trình bậc hai.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt nếu .
Áp dụng vào phương trình , ta có:
, , .
Tính :
.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt và .
Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của các biểu thức , , và .
1. Biểu thức :
Ta biết rằng:
Tính :
Do đó:
2. Biểu thức :
Ta viết lại biểu thức:
Tính :
Thay và vào:
Do đó:
3. Biểu thức :
Tính :
Thay và vào:
Tính :
Do đó:
Đáp số:
Câu 8.
Để giải quyết các biểu thức dựa trên các nghiệm và của phương trình , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm nghiệm của phương trình:
Phương trình có dạng với , , và .
Áp dụng công thức nghiệm:
Do đó, các nghiệm là:
2. Tính các biểu thức:
-
Áp dụng công thức :
Do đó:
-
-
-
-
Kết luận: