Giúp mình với! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI THÀNH PHỐ CÁC MÔN VĂN,HÀ NÔI HÓA LỚP 12 - GDTX CẤP THPT NĂM HỌC 2024 - 2025,Môn thi: Toán,ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề),(Đề thi có 01 trang),Câu I (6,0 điểm),1) Cho hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}$ có (C),a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.,b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết TT song song với đt $y=x$,2) Tìm m để đt $y=x-m$ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt,Câu II (6,0 điểm),1) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;10]$ thỏa mãn $\int^0_0f(x)dx=7,\int^2_2f(x)dx=3.$ Tính,$P=\int^2_0f(x)dx+\int^{10}_0f(x)dx.$,2) Tìm GTLN-GTNN $y=x\ln x$ trên $[1;e^2]$,3) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm só $y=x^3+1$ và hai trục Ox, Oy. Thể,tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox,Câu III (6,0 điểm),Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :,$(d):\left\{\begin{array}lx=3t\y=2+2t,(t\in R),(S):x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5\end{array} ight.$,a/. Chứng tỏ đường thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc,b/. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) và cắt (S) tại hai điểm,A,B sao cho độ dài $AB=2.$,Câu IV (2,0 điểm),Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng,(chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016,mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng.,Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và,số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn,theo đơn vị nghìn đồng).

Question

Giúp mình với! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI THÀNH PHỐ CÁC MÔN VĂN,HÀ NÔI HÓA LỚP 12 - GDTX CẤP THPT NĂM HỌC 2024 - 2025,Môn thi: Toán,ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề),(Đề thi có 01 trang),Câu I (6,0 điểm),1) Cho hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}$ có (C),a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.,b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết TT song song với đt $y=x$,2) Tìm m để đt $y=x-m$ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt,Câu II (6,0 điểm),1) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;10]$ thỏa mãn $\int^0_0f(x)dx=7,\int^2_2f(x)dx=3.$ Tính,$P=\int^2_0f(x)dx+\int^{10}_0f(x)dx.$,2) Tìm GTLN-GTNN $y=x\ln x$ trên $[1;e^2]$,3) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm só $y=x^3+1$ và hai trục Ox, Oy. Thể,tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox,Câu III (6,0 điểm),Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :,$(d):\left\{\begin{array}lx=3t\y=2+2t,(t\in R),(S):x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5\end{array}ight.$,a/. Chứng tỏ đường thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc,b/. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) và cắt (S) tại hai điểm,A,B sao cho độ dài $AB=2.$,Câu IV (2,0 điểm),Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng,(chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016,mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng.,Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và,số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn,theo đơn vị nghìn đồng).

Accepted Answer

Câu I 1) Cho hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}$ có (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết TT song song với đt $y=x$ 2) Tìm m để đt $y=x-m$ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt. Phần a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 1. Tìm tập xác định: Hàm số $y = \frac{x^2 - x - 1}{x + 1}$ có tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. 2. Tìm giới hạn: - $\lim_{x \to -1^-} y = -\infty$ - $\lim_{x \to -1^+} y = +\infty$ - $\lim_{x \to \pm \infty} y = x - 2$ 3. Tìm các điểm đặc biệt: - Giao điểm với trục Oy: $y(0) = -1$ - Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình $\frac{x^2 - x - 1}{x + 1} = 0 \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 4. Tìm đạo hàm: $y' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$ 5. Xét dấu đạo hàm: - $y' > 0$ khi $x < -2$ hoặc $x > 0$ - $y' < 0$ khi $-2 < x < 0$ và $x \neq -1$ 6. Tìm cực trị: - Cực đại: $x = -2$, $y(-2) = 1$ - Cực tiểu: $x = 0$, $y(0) = -1$ 7. Vẽ đồ thị: - Đồ thị có tiệm cận đứng $x = -1$ - Đồ thị có tiệm cận斜渐近线：$y = x - 2$ 部分 b) 建立与直线 $y = x$ 平行的曲线 (C) 的切线方程。 1. 求导数：已知 $y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$，要使切线平行于直线 $y = x$，则切点处的导数值应为1。 $$ \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 1 $$ 解这个方程： $$ x(x + 2) = (x + 1)^2 \Rightarrow x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 0 = 1 $$ 这个方程无解，说明没有这样的切点。部分 2) 求 m 的值，使得直线 $y = x - m$ 与曲线 (C) 在两个不同的点相交。 1. 建立方程组： $$ \frac{x^2 - x - 1}{x + 1} = x - m $$ 整理得： $$ x^2 - x - 1 = (x - m)(x + 1) \Rightarrow x^2 - x - 1 = x^2 + x - mx - m \Rightarrow -x - 1 = x - mx - m $$ $$ -1 - 1 = x - mx - m \Rightarrow -2 = x(1 - m) - m $$ $$ x(1 - m) = m - 2 \Rightarrow x = \frac{m - 2}{1 - m} $$ 2. 确保有两个不同的交点：要有两个不同的交点，需要判别式大于0。这里我们直接通过观察方程的形式来判断： $$ x = \frac{m - 2}{1 - m} $$ 要有两个不同的解，分母不能为零且分子和分母不能同时为零。因此，$m \neq 1$ 且 $m \neq 2$。综上所述，$m$ 的取值范围是 $m \neq 1$ 且 $m \neq 2$。 Câu II 1) Ta có: $$ P = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{6}^{10} f(x) \, dx $$ Biết rằng: $$ \int_{0}^{10} f(x) \, dx = 7 $$ $$ \int_{2}^{6} f(x) \, dx = 3 $$ Ta có thể viết: $$ \int_{0}^{10} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{10} f(x) \, dx $$ Thay các giá trị đã biết vào: $$ 7 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + 3 + \int_{6}^{10} f(x) \, dx $$ Do đó: $$ \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{6}^{10} f(x) \, dx = 7 - 3 = 4 $$ Vậy: $$ P = 4 $$ 2) Tìm GTLN và GTNN của hàm số $ y = x \ln x $ trên đoạn $[1; e^2]$. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của $ y $: $$ y' = \ln x + 1 $$ Đặt $ y' = 0 $: $$ \ln x + 1 = 0 $$ $$ \ln x = -1 $$ $$ x = e^{-1} = \frac{1}{e} $$ Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $ x = 1 $: $$ y(1) = 1 \cdot \ln 1 = 0 $$ - Tại $ x = e^2 $: $$ y(e^2) = e^2 \cdot \ln(e^2) = e^2 \cdot 2 = 2e^2 $$ - Tại $ x = \frac{1}{e} $: $$ y\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot \ln\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e} $$ So sánh các giá trị: - $ y(1) = 0 $ - $ y(e^2) = 2e^2 $ - $ y\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e} $ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $ 2e^2 $, đạt được khi $ x = e^2 $. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -\frac{1}{e} $, đạt được khi $ x = \frac{1}{e} $. 3) Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = x^3 + 1 $ và hai trục Ox, Oy xung quanh trục Ox. Đầu tiên, xác định khoảng giới hạn của $ x $: - Giao điểm của $ y = x^3 + 1 $ với trục Ox: $ x^3 + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $ - Giao điểm của $ y = x^3 + 1 $ với trục Oy: $ x = 0 $ Do đó, khoảng giới hạn là từ $ x = -1 $ đến $ x = 0 $. Thể tích khối tròn xoay: $$ V = \pi \int_{-1}^{0} [x^3 + 1]^2 \, dx $$ Tính tích phân: $$ V = \pi \int_{-1}^{0} (x^6 + 2x^3 + 1) \, dx $$ $$ V = \pi \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{2x^4}{4} + x \right]_{-1}^{0} $$ $$ V = \pi \left[ \left( \frac{0^7}{7} + \frac{2 \cdot 0^4}{4} + 0 \right) - \left( \frac{(-1)^7}{7} + \frac{2 \cdot (-1)^4}{4} + (-1) \right) \right] $$ $$ V = \pi \left[ 0 - \left( -\frac{1}{7} + \frac{2}{4} - 1 \right) \right] $$ $$ V = \pi \left[ \frac{1}{7} - \frac{1}{2} + 1 \right] $$ $$ V = \pi \left[ \frac{1}{7} - \frac{1}{2} + 1 \right] $$ $$ V = \pi \left[ \frac{2}{14} - \frac{7}{14} + \frac{14}{14} \right] $$ $$ V = \pi \left[ \frac{9}{14} \right] $$ $$ V = \frac{9\pi}{14} $$ Vậy thể tích của khối tròn xoay là: $$ V = \frac{9\pi}{14} $$ Câu III a/ Ta thấy đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(0;2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(3;2;0).$ Ta thấy $M$ thuộc $(S)$ nên $(d)$ và $(S)$ tiếp xúc nhau tại $M.$ b/ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;1),$ bán kính $R=\sqrt{5}.$ Gọi $(d')$ là đường thẳng đi qua điểm $M(0;2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(3;2;0).$ Ta thấy $(d')$ song song với $(d).$ Khi đó ta có $(d'):(x;y;z)=(0;2;0)+t(3;2;0).$ Phương trình tham số của đường tròn giao của $(S)$ và $(d')$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=3t\y=2+2t\z=1-t\end{array}\right..$ Thay vào phương trình của $(S)$ ta được: $9t^{2}+4t^{2}+4t+4+1+t^{2}-2t+1=5.$ Giải ra ta được $t_{1}=0,t_{2}=-\frac{1}{3}.$ Vậy hai điểm $A(0;2;0),B(-1;1;1).$ Ta có $AB=\sqrt{(0+1)^{2}+(2-1)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{3}.$ Đường thẳng $(d'')$ đi qua điểm $M(0;2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(3;2;0).$ Ta thấy $(d'')$ song song với $(d).$ Khi đó ta có $(d''):(x;y;z)=(0;2;0)+t(3;2;0).$ Phương trình tham số của đường tròn giao của $(S)$ và $(d'')$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=3t\y=2+2t\z=1-t\end{array}\right..$ Thay vào phương trình của $(S)$ ta được: $9t^{2}+4t^{2}+4t+4+1+t^{2}-2t+1=5.$ Giải ra ta được $t_{1}=0,t_{2}=-\frac{1}{3}.$ Vậy hai điểm $C(0;2;0),D(-1;1;1).$ Ta có $CD=\sqrt{(0+1)^{2}+(2-1)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{3}.$ Vậy $(d'')$ là đường thẳng cần tìm. Câu IV Số tiền mẹ lĩnh vào đầu tháng 12 năm 2016 là: $$ 4000000 \times 11 + 4000000 \times 10 \times 0.01 + 4000000 \times 9 \times 0.01 + \ldots + 4000000 \times 0.01 $$ $$ = 4000000 \times (11 + 10 \times 0.01 + 9 \times 0.01 + \ldots + 0.01) $$ $$ = 4000000 \times (11 + 0.1 \times (10 + 9 + \ldots + 1)) $$ $$ = 4000000 \times (11 + 0.1 \times \frac{10 \times 11}{2}) $$ $$ = 4000000 \times (11 + 0.1 \times 55) $$ $$ = 4000000 \times (11 + 5.5) $$ $$ = 4000000 \times 16.5 $$ $$ = 66000000 \text{ (đồng)} $$ Vậy, khi đó mẹ lĩnh về số tiền là 66 triệu đồng.