Nebennejee diới gian.,$g(t)-t(t)-fT(t)dt,$ với $T(0)=100 imes$ $ ightarrow110.$,d) Nhiệt độ của vật tại thời điểm $t=5$ phút là $T(t)=\int^5_0T^\prime(t)dt.$,Câu 4. Quan sát quá trình sinh trưởng và phát triển của một giống cà chua mới trong 18 tuần kể từ khi trồng,,các kĩ sư thuộc một trung tâm giống cây trồng nhận thấy: Chiều cao thân cây sau r tuần kể từ khi trồng được,tính xấp xí bởi hàm số $h(t)=45\log_4(3t+1)+10$ ( đơn vị: centimet, $0\leq t\leq18).$ Sau 8 tuần kể từ khi trồng, hoa,bắt đầu kết trái. Kể từ đó, đường kính trái cả chua ở tuần thứ r xấp xỉ bởi hàm số $d(t)=2^{\frac{3x-23}{t-7}}-2$ (đơn vị:,centimet, $8\leq t\leq18).$,Va) Chiều cao của thân cây cà chua liên tục tăng trong suốt 18 tuần.,b) Tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần thử 7 (làm tròn đến hàng phần tăm) là,4,43(cm/tuần).,cc) Sau 4 tuần kể từ khi kết trái, đường kính trái cà chua lớn hơn 10,69 cm.,d) Khi được 5 tuần tuổi, chiều cao của thân cây cà chua là 100 cm.,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo là kilômet, một ra đa phát hiện một máy bay,7 chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1200;680;14)$ đến điểm N trong 40 phút. Biết,sau 10 phút vị trí của máy bay là $Q(1400;760;16).$ Một khẩu pháo ở tọa độ vị trí điểm $E(1040;3400;46)$ được,bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay, nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí N . Sau bao nhiêu,phút khi máy bay bay từ M thì người điều khiển pháo phải bắn?,Câu 2. Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn uống đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau: Phí cố định,được ước tính trong một năm là 70 triệu đồng; Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 32 nghìn đồng; Giá niêm,yết trên thực đơn là 45 nghìn đồng. Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán,hết và kí hiệu x là số phần ăn trong một năm, giả sử x là số nguyên thuộc đoạn [5000;25000]. Mục tiêu của,chủ nhà hàng là tạo ra lợi nhuận ít nhất là 180 triệu đồng mỗi năm. Biết rằng nhà hàng mở cửa 300 ngày một,năm, hỏi trung bình mỗi ngày nhà hàng phải phục vụ ít nhất bao nhiêu phần ăn để đạt được mục tiêu trên?,Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có mặt đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên $AA^\prime=16.$ Gọi,M,O lần lượt là trung điểm của A'B' và A'C'. Biết thể tích tử diện AMOB' bằng 18, tính khoảng cách giữa,8,5 hai đường thẳng AM, CO (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 4. Một hộp chứa 3 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 3, 6 viên bi màu xanh được đánh số từ 1,đến 6, 9 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp. Gọi p là xác,1740 suất để 3 viên bi lấy ra vừa khác màu, vừa khác số. Tính 8160p.,Câu 5. Một khu đất có hình dạng là một nửa hình tròn bán kính 24m. Người ta muốn xây dựng một khu vui,chơi hình chữ nhật ở bên trong nửa đường tròn đó, biết rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường,kính của nửa đường tròn ( hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng., ,Trang 3/4 - Mã đề 111

Question

Nebennejee diới gian.,$g(t)-t(t)-fT(t)dt,$ với $T(0)=100 imes$ $ ightarrow110.$,d) Nhiệt độ của vật tại thời điểm $t=5$ phút là $T(t)=\int^5_0T^\prime(t)dt.$,Câu 4. Quan sát quá trình sinh trưởng và phát triển của một giống cà chua mới trong 18 tuần kể từ khi trồng,,các kĩ sư thuộc một trung tâm giống cây trồng nhận thấy: Chiều cao thân cây sau r tuần kể từ khi trồng được,tính xấp xí bởi hàm số $h(t)=45\log_4(3t+1)+10$ ( đơn vị: centimet, $0\leq t\leq18).$ Sau 8 tuần kể từ khi trồng, hoa,bắt đầu kết trái. Kể từ đó, đường kính trái cả chua ở tuần thứ r xấp xỉ bởi hàm số $d(t)=2^{\frac{3x-23}{t-7}}-2$ (đơn vị:,centimet, $8\leq t\leq18).$,Va) Chiều cao của thân cây cà chua liên tục tăng trong suốt 18 tuần.,b) Tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần thử 7 (làm tròn đến hàng phần tăm) là,4,43(cm/tuần).,cc) Sau 4 tuần kể từ khi kết trái, đường kính trái cà chua lớn hơn 10,69 cm.,d) Khi được 5 tuần tuổi, chiều cao của thân cây cà chua là 100 cm.,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo là kilômet, một ra đa phát hiện một máy bay,7 chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1200;680;14)$ đến điểm N trong 40 phút. Biết,sau 10 phút vị trí của máy bay là $Q(1400;760;16).$ Một khẩu pháo ở tọa độ vị trí điểm $E(1040;3400;46)$ được,bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay, nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí N . Sau bao nhiêu,phút khi máy bay bay từ M thì người điều khiển pháo phải bắn?,Câu 2. Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn uống đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau: Phí cố định,được ước tính trong một năm là 70 triệu đồng; Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 32 nghìn đồng; Giá niêm,yết trên thực đơn là 45 nghìn đồng. Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán,hết và kí hiệu x là số phần ăn trong một năm, giả sử x là số nguyên thuộc đoạn [5000;25000]. Mục tiêu của,chủ nhà hàng là tạo ra lợi nhuận ít nhất là 180 triệu đồng mỗi năm. Biết rằng nhà hàng mở cửa 300 ngày một,năm, hỏi trung bình mỗi ngày nhà hàng phải phục vụ ít nhất bao nhiêu phần ăn để đạt được mục tiêu trên?,Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có mặt đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên $AA^\prime=16.$ Gọi,M,O lần lượt là trung điểm của A'B' và A'C'. Biết thể tích tử diện AMOB' bằng 18, tính khoảng cách giữa,8,5 hai đường thẳng AM, CO (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 4. Một hộp chứa 3 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 3, 6 viên bi màu xanh được đánh số từ 1,đến 6, 9 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp. Gọi p là xác,1740 suất để 3 viên bi lấy ra vừa khác màu, vừa khác số. Tính 8160p.,Câu 5. Một khu đất có hình dạng là một nửa hình tròn bán kính 24m. Người ta muốn xây dựng một khu vui,chơi hình chữ nhật ở bên trong nửa đường tròn đó, biết rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường,kính của nửa đường tròn ( hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng.,

,Trang 3/4 - Mã đề 111

Accepted Answer

Câu 4.
a) Ta có $h'(t)=\frac{135}{(3t+1)\ln 4}>0,\forall t\in [0;18]$. Vậy chiều cao của thân cây cà chua liên tục tăng trong suốt 18 tuần.
b) Tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần thứ 7 là $h'(7)=\frac{135}{(3\times 7+1)\ln 4}\approx 4,43(cm/tuần)$.
c) Đường kính trái cà chua sau 4 tuần kể từ khi kết trái là $d(12)=2^{\frac{3\times 12-23}{12-7}}-2=2^{1,4}-2\approx 1,06<10,69$. Vậy sau 4 tuần kể từ khi kết trái, đường kính trái cà chua không lớn hơn 10,69 cm.
d) Chiều cao của thân cây cà chua khi được 5 tuần tuổi là $h(5)=45\log _4(3\times 5+1)+10=45\log _416+10=110>100$. Vậy khi được 5 tuần tuổi, chiều cao của thân cây cà chua lớn hơn 100 cm.

Câu 1.
Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc của máy bay chiến đấu. Gọi vận tốc của máy bay là $\vec{v}$.

Trong 10 phút máy bay di chuyển từ điểm M đến điểm Q, do đó:

$$\vec{MQ} = (1400 - 1200, 760 - 680, 16 - 14) = (200, 80, 2)$$

Vì 10 phút là $\frac{1}{6}$ giờ, nên vận tốc của máy bay là:

$$\vec{v} = 6 \times \vec{MQ} = 6 \times (200, 80, 2) = (1200, 480, 12)$$

Tiếp theo, ta cần tìm tọa độ của điểm N. Máy bay di chuyển từ M đến N trong 40 phút, tức là $\frac{2}{3}$ giờ. Do đó:

$$\vec{MN} = \frac{2}{3} \times \vec{v} = \frac{2}{3} \times (1200, 480, 12) = (800, 320, 8)$$

Tọa độ của điểm N là:

$$N = M + \vec{MN} = (1200, 680, 14) + (800, 320, 8) = (2000, 1000, 22)$$

Bây giờ, ta cần tìm thời điểm mà khẩu pháo phải bắn để bắn trúng máy bay tại điểm N. Gọi thời gian từ khi máy bay bay từ M đến khi khẩu pháo bắn là t phút.

Vận tốc của khẩu pháo là 5 lần vận tốc của máy bay, tức là:

$$\vec{u} = 5 \times \vec{v} = 5 \times (1200, 480, 12) = (6000, 2400, 60)$$

Khi khẩu pháo bắn, máy bay đã di chuyển được t phút, tức là $\frac{t}{60}$ giờ. Tọa độ của máy bay lúc này là:

$$P = M + \frac{t}{60} \times \vec{v} = (1200, 680, 14) + \frac{t}{60} \times (1200, 480, 12) = (1200 + 20t, 680 + 8t, 14 + 0.2t)$$

Khẩu pháo bắn từ điểm E đến điểm P, tức là:

$$\vec{EP} = (1200 + 20t - 1040, 680 + 8t - 3400, 14 + 0.2t - 46) = (160 + 20t, -2720 + 8t, -32 + 0.2t)$$

Thời gian khẩu pháo bắn đến điểm P là:

$$t' = \frac{\|\vec{EP}\|}{\|\vec{u}\|} = \frac{\sqrt{(160 + 20t)^2 + (-2720 + 8t)^2 + (-32 + 0.2t)^2}}{\sqrt{6000^2 + 2400^2 + 60^2}}$$

Vì khẩu pháo bắn trúng máy bay tại điểm N, tức là t' = 40 - t, ta có:

$$\frac{\sqrt{(160 + 20t)^2 + (-2720 + 8t)^2 + (-32 + 0.2t)^2}}{\sqrt{6000^2 + 2400^2 + 60^2}} = 40 - t$$

Giải phương trình này, ta tìm được t ≈ 30 phút.

Vậy, sau 30 phút khi máy bay bay từ M thì người điều khiển pháo phải bắn.

Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định doanh thu và chi phí.
2. Xác định lợi nhuận.
3. Tìm số phần ăn cần thiết để đạt lợi nhuận mục tiêu.
4. Tính trung bình số phần ăn mỗi ngày.

Bước 1: Xác định doanh thu và chi phí

Doanh thu từ việc bán x phần ăn trong một năm:
$$ \text{Doanh thu} = 45000x $$

Chi phí cố định trong một năm:
$$ \text{Chi phí cố định} = 70000000 $$

Chi phí biến đổi (chi phí cho mỗi phần ăn):
$$ \text{Chi phí biến đổi} = 32000x $$

Tổng chi phí:
$$ \text{Tổng chi phí} = 70000000 + 32000x $$

Bước 2: Xác định lợi nhuận

Lợi nhuận:
$$ \text{Lợi nhuận} = \text{Doanh thu} - \text{Tổng chi phí} $$
$$ \text{Lợi nhuận} = 45000x - (70000000 + 32000x) $$
$$ \text{Lợi nhuận} = 45000x - 70000000 - 32000x $$
$$ \text{Lợi nhuận} = 13000x - 70000000 $$

Bước 3: Tìm số phần ăn cần thiết để đạt lợi nhuận mục tiêu

Muốn đạt lợi nhuận ít nhất là 180 triệu đồng mỗi năm:
$$ 13000x - 70000000 \geq 180000000 $$
$$ 13000x \geq 250000000 $$
$$ x \geq \frac{250000000}{13000} $$
$$ x \geq 19230.7692 $$

Vì x là số nguyên, nên ta làm tròn lên:
$$ x \geq 19231 $$

Bước 4: Tính trung bình số phần ăn mỗi ngày

Nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm, nên trung bình mỗi ngày nhà hàng phải phục vụ ít nhất:
$$ \frac{19231}{300} \approx 64.1 $$

Vì số phần ăn phải là số nguyên, nên ta làm tròn lên:
$$ \text{Số phần ăn mỗi ngày} \geq 65 $$

Vậy, trung bình mỗi ngày nhà hàng phải phục vụ ít nhất 65 phần ăn để đạt được mục tiêu lợi nhuận ít nhất là 180 triệu đồng mỗi năm.

Đáp số: 65 phần ăn mỗi ngày.

Câu 3.
Trước tiên, ta cần tìm thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Vì ABCD là hình vuông, ta gọi độ dài mỗi cạnh của hình vuông là $ a $. Cạnh bên $ AA' = 16 $.

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
$$ V_{ABCD.A'B'C'D'} = a^2 \times 16 $$

Tiếp theo, ta cần tìm thể tích của tứ diện AMOB'. Ta biết rằng thể tích của tứ diện AMOB' là 18. Ta sẽ sử dụng công thức tính thể tích của một tứ diện từ thể tích của hình hộp chữ nhật.

Thể tích của tứ diện AMOB' chiếm một phần của thể tích hình hộp chữ nhật. Ta có thể tính thể tích của tứ diện AMOB' bằng cách chia thể tích của hình hộp chữ nhật thành các phần nhỏ hơn.

Ta thấy rằng tứ diện AMOB' chiếm một phần của thể tích hình hộp chữ nhật. Ta có thể tính thể tích của tứ diện AMOB' bằng cách chia thể tích của hình hộp chữ nhật thành các phần nhỏ hơn.

Thể tích của tứ diện AMOB' là:
$$ V_{AMOB'} = \frac{1}{6} \times V_{ABCD.A'B'C'D'} $$

Do đó:
$$ 18 = \frac{1}{6} \times a^2 \times 16 $$
$$ 18 = \frac{16a^2}{6} $$
$$ 18 = \frac{8a^2}{3} $$
$$ 54 = 8a^2 $$
$$ a^2 = \frac{54}{8} $$
$$ a^2 = 6.75 $$
$$ a = \sqrt{6.75} \approx 2.60 $$

Bây giờ, ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CO. Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CO là:
$$ d = \frac{|(\vec{AM} \times \vec{CO}) \cdot \vec{AC}|}{|\vec{AM} \times \vec{CO}|} $$

Ta tính các vector:
$$ \vec{AM} = \left( \frac{a}{2}, 0, 16 \right) $$
$$ \vec{CO} = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 8 \right) $$
$$ \vec{AC} = (a, a, 0) $$

Tính tích vector:
$$ \vec{AM} \times \vec{CO} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
\frac{a}{2} & 0 & 16 \
-\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 8
\end{vmatrix} = \left( -8a, -16a, \frac{a^2}{4} \right) $$

Tính tích vô hướng:
$$ (\vec{AM} \times \vec{CO}) \cdot \vec{AC} = (-8a, -16a, \frac{a^2}{4}) \cdot (a, a, 0) = -8a^2 - 16a^2 = -24a^2 $$

Tính độ dài vector:
$$ |\vec{AM} \times \vec{CO}| = \sqrt{(-8a)^2 + (-16a)^2 + \left( \frac{a^2}{4} \right)^2} = \sqrt{64a^2 + 256a^2 + \frac{a^4}{16}} = \sqrt{320a^2 + \frac{a^4}{16}} $$

Cuối cùng, ta tính khoảng cách:
$$ d = \frac{|-24a^2|}{\sqrt{320a^2 + \frac{a^4}{16}}} $$

Thay $ a = 2.60 $:
$$ d = \frac{24 \times 6.75}{\sqrt{320 \times 6.75 + \frac{(2.60)^4}{16}}} \approx \frac{162}{\sqrt{2160 + 4.5625}} \approx \frac{162}{46.5} \approx 3.48 $$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CO là:
$$ \boxed{3.48} $$

Câu 4.
Tổng số cách chọn 3 viên bi từ 18 viên bi là:
$$ C_{18}^3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816 $$

Để 3 viên bi vừa khác màu, vừa khác số, ta chọn mỗi màu một viên bi. Số cách chọn 1 viên bi từ mỗi nhóm màu là:
- Chọn 1 viên bi đỏ từ 3 viên bi đỏ: $ C_3^1 = 3 $
- Chọn 1 viên bi xanh từ 6 viên bi xanh: $ C_6^1 = 6 $
- Chọn 1 viên bi vàng từ 9 viên bi vàng: $ C_9^1 = 9 $

Số cách chọn 3 viên bi vừa khác màu, vừa khác số là:
$$ 3 \times 6 \times 9 = 162 $$

Xác suất để 3 viên bi lấy ra vừa khác màu, vừa khác số là:
$$ p = \frac{162}{816} = \frac{27}{136} $$

Tính $ 8160p $:
$$ 8160 \times \frac{27}{136} = 8160 \div 136 \times 27 = 60 \times 27 = 1620 $$

Đáp số: 1620

Câu 5.
Để tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi hình chữ nhật có thể xây dựng trong nửa hình tròn bán kính 24m, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định bán kính và đường kính của nửa hình tròn:
   - Bán kính $ R = 24 $ m.
   - Đường kính $ D = 2R = 48 $ m.

2. Xác định các biến số:
   - Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $ x $.
   - Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là $ y $.

3. Liên hệ giữa các biến số:
   - Hình chữ nhật nằm trong nửa hình tròn nên chiều rộng $ y $ sẽ là khoảng cách từ tâm của nửa hình tròn đến đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình chữ nhật.
   - Theo định lý Pythagoras, ta có:
     $$ y = \sqrt{R^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{576 - \frac{x^2}{4}} $$

4. Diện tích của hình chữ nhật:
   - Diện tích $ S $ của hình chữ nhật là:
     $$ S = x \cdot y = x \cdot \sqrt{576 - \frac{x^2}{4}} $$

5. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích $ S $:
   - Để tìm giá trị lớn nhất của $ S $, ta sẽ sử dụng đạo hàm.
   - Gọi $ f(x) = x \cdot \sqrt{576 - \frac{x^2}{4}} $.
   - Tìm đạo hàm $ f'(x) $:
     $$ f'(x) = \sqrt{576 - \frac{x^2}{4}} + x \cdot \frac{-\frac{x}{2}}{2\sqrt{576 - \frac{x^2}{4}}} = \sqrt{576 - \frac{x^2}{4}} - \frac{x^2}{4\sqrt{576 - \frac{x^2}{4}}} $$
     $$ f'(x) = \frac{4(576 - \frac{x^2}{4}) - x^2}{4\sqrt{576 - \frac{x^2}{4}}} = \frac{2304 - x^2 - x^2}{4\sqrt{576 - \frac{x^2}{4}}} = \frac{2304 - 2x^2}{4\sqrt{576 - \frac{x^2}{4}}} $$
   - Đặt $ f'(x) = 0 $:
     $$ 2304 - 2x^2 = 0 $$
     $$ 2x^2 = 2304 $$
     $$ x^2 = 1152 $$
     $$ x = \sqrt{1152} = 24\sqrt{2} $$

6. Tính diện tích lớn nhất:
   - Thay $ x = 24\sqrt{2} $ vào biểu thức của $ y $:
     $$ y = \sqrt{576 - \frac{(24\sqrt{2})^2}{4}} = \sqrt{576 - \frac{1152}{4}} = \sqrt{576 - 288} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} $$
   - Diện tích lớn nhất:
     $$ S_{max} = x \cdot y = 24\sqrt{2} \cdot 12\sqrt{2} = 24 \cdot 12 \cdot 2 = 576 \text{ m}^2 $$

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi hình chữ nhật có thể xây dựng là $ 576 \text{ m}^2 $.