Giải giúp mình $a|.dx=ma^2+nb^2;a

Question

Giải giúp mình $a|.dx=ma^2+nb^2;a<0b.$,Tính $m+n=?$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính tích phân $\int_{a}^{b} |x| \, dx$ và so sánh kết quả với biểu thức $ma^2 + nb^2$. Sau đó, chúng ta sẽ tìm giá trị của $m$ và $n$ để tính $m + n$.

Bước 1: Tính tích phân $\int_{a}^{b} |x| \, dx$

Do $a < 0 < b$, ta chia tích phân thành hai phần:
$$
\int_{a}^{b} |x| \, dx = \int_{a}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{b} x \, dx
$$

Bước 2: Tính từng phần tích phân

Phần 1: $\int_{a}^{0} (-x) \, dx$
$$
\int_{a}^{0} (-x) \, dx = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{0} = -\left( \frac{0^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right) = \frac{a^2}{2}
$$

Phần 2: $\int_{0}^{b} x \, dx$
$$
\int_{0}^{b} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{b} = \frac{b^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{b^2}{2}
$$

Bước 3: Cộng hai phần tích phân lại
$$
\int_{a}^{b} |x| \, dx = \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} = \frac{a^2 + b^2}{2}
$$

Bước 4: So sánh với biểu thức $ma^2 + nb^2$

Ta có:
$$
\frac{a^2 + b^2}{2} = ma^2 + nb^2
$$

So sánh hệ số của $a^2$ và $b^2$ từ cả hai vế:
$$
\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = ma^2 + nb^2
$$

Từ đây, ta suy ra:
$$
m = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad n = \frac{1}{2}
$$

Bước 5: Tính $m + n$
$$
m + n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
$$

Vậy, $m + n = 1$.