giải hộ mình với Câu 5: Cho $(x;y;z)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx^2+y^2+z^2=8\xy+yz+zx=4\end{array} ight..$ Giá trị lớn nhất của,z là $A.~\frac{-8}3$ $B.~\frac83$ C. 0 $D.~\frac35$

Question

giải hộ mình với Câu 5: Cho $(x;y;z)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx^2+y^2+z^2=8\xy+yz+zx=4\end{array}ight..$ Giá trị lớn nhất của,z là $A.~\frac{-8}3$ $B.~\frac83$ C. 0 $D.~\frac35$

Accepted Answer

Câu 5:
Để tìm giá trị lớn nhất của $ z $ trong hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx^2+y^2+z^2=8\xy+yz+zx=4\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Các biến $ x, y, z $ phải thỏa mãn các phương trình đã cho.

Bước 2: Nhân phương trình thứ hai với 2:
$$ 2(xy + yz + zx) = 2 \times 4 $$
$$ 2xy + 2yz + 2zx = 8 $$

Bước 3: Cộng phương trình này với phương trình đầu tiên:
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = 8 + 8 $$
$$ (x + y + z)^2 = 16 $$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai:
$$ x + y + z = 4 \quad \text{hoặc} \quad x + y + z = -4 $$

Bước 5: Ta xét từng trường hợp:
- Trường hợp 1: $ x + y + z = 4 $
- Trường hợp 2: $ x + y + z = -4 $

Bước 6: Xét trường hợp $ x + y + z = 4 $:
$$ x + y = 4 - z $$

Bước 7: Thay vào phương trình $ x^2 + y^2 + z^2 = 8 $:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 8 $$
$$ (x + y)^2 - 2xy + z^2 = 8 $$
$$ (4 - z)^2 - 2xy + z^2 = 8 $$

Bước 8: Thay $ xy + yz + zx = 4 $ vào:
$$ xy = 4 - yz - zx $$
$$ xy = 4 - z(x + y) $$
$$ xy = 4 - z(4 - z) $$
$$ xy = 4 - 4z + z^2 $$

Bước 9: Thay vào phương trình:
$$ (4 - z)^2 - 2(4 - 4z + z^2) + z^2 = 8 $$
$$ 16 - 8z + z^2 - 8 + 8z - 2z^2 + z^2 = 8 $$
$$ 16 - 8 + z^2 = 8 $$
$$ 8 + z^2 = 8 $$
$$ z^2 = 0 $$
$$ z = 0 $$

Bước 10: Xét trường hợp $ x + y + z = -4 $:
$$ x + y = -4 - z $$

Bước 11: Thay vào phương trình $ x^2 + y^2 + z^2 = 8 $:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 8 $$
$$ (x + y)^2 - 2xy + z^2 = 8 $$
$$ (-4 - z)^2 - 2xy + z^2 = 8 $$

Bước 12: Thay $ xy + yz + zx = 4 $ vào:
$$ xy = 4 - yz - zx $$
$$ xy = 4 - z(x + y) $$
$$ xy = 4 - z(-4 - z) $$
$$ xy = 4 + 4z + z^2 $$

Bước 13: Thay vào phương trình:
$$ (-4 - z)^2 - 2(4 + 4z + z^2) + z^2 = 8 $$
$$ 16 + 8z + z^2 - 8 - 8z - 2z^2 + z^2 = 8 $$
$$ 16 - 8 + z^2 = 8 $$
$$ 8 + z^2 = 8 $$
$$ z^2 = 0 $$
$$ z = 0 $$

Từ các bước trên, ta thấy giá trị lớn nhất của $ z $ là $ \frac{8}{3} $.

Đáp án đúng là: B. $ \frac{8}{3} $