Cho A = 3/2^2 + 8/3^2 + 15/4^2 + ... + 2023^2-1/2023^2.Chứng tỏ rằng A 2021

Question

Cho A = 3/2^2 + 8/3^2 + 15/4^2 + ...  + 2023^2-1/2023^2.Chứng tỏ rằng A > 2021

Accepted Answer

Ta có: $$ A = \frac{3}{2^2} + \frac{8}{3^2} + \frac{15}{4^2} + \ldots + \frac{2023^2 - 1}{2023^2} $$ Nhận thấy rằng: $$ \frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2} $$ Áp dụng vào bài toán: $$ A = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{3^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{4^2}\right) + \ldots + \left(1 - \frac{1}{2023^2}\right) $$ Tách thành hai tổng: $$ A = (1 + 1 + 1 + \ldots + 1) - \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2}\right) $$ Số lượng các số 1 trong tổng đầu tiên là 2022 (từ 2 đến 2023): $$ A = 2022 - \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2}\right) $$ Ta cần chứng minh rằng: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} < 1 $$ Xét tổng: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} $$ Biết rằng: $$ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $$ Áp dụng vào tổng: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} < \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2022} - \frac{1}{2023}\right) $$ Tổng này là một tổng thuần nhất: $$ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2022} - \frac{1}{2023}\right) = 1 - \frac{1}{2023} < 1 $$ Do đó: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} < 1 $$ Vậy: $$ A = 2022 - \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2}\right) > 2022 - 1 = 2021 $$ Kết luận: $$ A > 2021 $$