giúp với ạ Bài 2: Tính nhanh,$a.~A=\frac1{1 imes2}+\frac1{2 imes3}+\frac1{3 imes4}+...+\frac1{2023 imes2024}$,$b,~B=\frac12+\frac16+\frac1{12}+\frac1{16}+...+\frac1{9900}$,$c,~C=\frac2{1 imes2}+\frac2{3 imes5}+\frac2{5 imes7}+...+\frac2{2023 imes2025}$,$d,~D=\frac3{1 imes4}+\frac3{4 imes7}+\frac3{7 imes10}+...+\frac3{100 imes103}$

Question

giúp với ạ Bài 2: Tính nhanh,$a.~A=\frac1{1	imes2}+\frac1{2	imes3}+\frac1{3	imes4}+...+\frac1{2023	imes2024}$,$b,~B=\frac12+\frac16+\frac1{12}+\frac1{16}+...+\frac1{9900}$,$c,~C=\frac2{1	imes2}+\frac2{3	imes5}+\frac2{5	imes7}+...+\frac2{2023	imes2025}$,$d,~D=\frac3{1	imes4}+\frac3{4	imes7}+\frac3{7	imes10}+...+\frac3{100	imes103}$

Accepted Answer

Bài 2:
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phân tích và tách các phân số thành các phần dễ dàng tính toán hơn.

a. Tính $ A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{2023 \times 2024} $

Ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{1}{n(n+1)}$. Ta có thể viết lại mỗi phân số dưới dạng:
$$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ... + \left( \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} \right) $$

Nhận thấy rằng các phân số trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
$$ A = 1 - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024} $$

b. Tính $ B = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{9900} $

Ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{1}{n(n+1)}$. Ta có thể viết lại mỗi phân số dưới dạng:
$$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ B = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ... + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) $$

Nhận thấy rằng các phân số trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
$$ B = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} $$

c. Tính $ C = \frac{2}{1 \times 2} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + ... + \frac{2}{2023 \times 2025} $

Ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$. Ta có thể viết lại mỗi phân số dưới dạng:
$$ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ C = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + ... + \left( \frac{1}{2023} - \frac{1}{2025} \right) $$

Nhận thấy rằng các phân số trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
$$ C = 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025} $$

d. Tính $ D = \frac{3}{1 \times 4} + \frac{3}{4 \times 7} + \frac{3}{7 \times 10} + ... + \frac{3}{100 \times 103} $

Ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{3}{(3n-2)(3n+1)}$. Ta có thể viết lại mỗi phân số dưới dạng:
$$ \frac{3}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ D = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + ... + \left( \frac{1}{100} - \frac{1}{103} \right) $$

Nhận thấy rằng các phân số trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
$$ D = 1 - \frac{1}{103} = \frac{102}{103} $$

Đáp số:
a. $ A = \frac{2023}{2024} $
b. $ B = \frac{99}{100} $
c. $ C = \frac{2024}{2025} $
d. $ D = \frac{102}{103} $