giúp mình với Câu 2. Cho biểu thức: $M=(\frac{\sqrt x}{\sqrt x+6}+\frac1{\sqrt x-6}+\frac{17\sqrt x+30}{x-36}):\frac{\sqrt x+6}{24}$ với $x\geq0;x
e36$,a) Rút gọn biểu thức M .,b) Tìm số nguyên x để biểu thức M có giá trị nguyên lớn nhất.

Question

Accepted Answer

Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Rút gọn biểu thức $ M $

Điều kiện xác định: $ x \geq 0; x \neq 36 $.

Biểu thức $ M $ là:
$$ M = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} + \frac{1}{\sqrt{x} - 6} + \frac{17\sqrt{x} + 30}{x - 36} \right) : \frac{\sqrt{x} + 6}{24} $$

Trước tiên, ta quy đồng các phân thức trong ngoặc:
$$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} + \frac{1}{\sqrt{x} - 6} + \frac{17\sqrt{x} + 30}{x - 36} $$

Quy đồng mẫu số chung:
$$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 6) + (\sqrt{x} + 6) + (17\sqrt{x} + 30)}{(\sqrt{x} + 6)(\sqrt{x} - 6)} $$

Tính tử số:
$$ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 6) + (\sqrt{x} + 6) + (17\sqrt{x} + 30) = x - 6\sqrt{x} + \sqrt{x} + 6 + 17\sqrt{x} + 30 = x + 12\sqrt{x} + 36 $$

Do đó:
$$ \frac{x + 12\sqrt{x} + 36}{x - 36} $$

Biểu thức $ M $ trở thành:
$$ M = \frac{x + 12\sqrt{x} + 36}{x - 36} : \frac{\sqrt{x} + 6}{24} $$

Chia hai phân thức:
$$ M = \frac{x + 12\sqrt{x} + 36}{x - 36} \times \frac{24}{\sqrt{x} + 6} $$

Nhận thấy rằng $ x + 12\sqrt{x} + 36 = (\sqrt{x} + 6)^2 $:
$$ M = \frac{(\sqrt{x} + 6)^2}{x - 36} \times \frac{24}{\sqrt{x} + 6} $$

Rút gọn:
$$ M = \frac{(\sqrt{x} + 6) \cdot 24}{x - 36} = \frac{24(\sqrt{x} + 6)}{x - 36} $$

b) Tìm số nguyên $ x $ để biểu thức $ M $ có giá trị nguyên lớn nhất

Ta cần $ \frac{24(\sqrt{x} + 6)}{x - 36} $ là số nguyên lớn nhất.

Đặt $ t = \sqrt{x} $, do đó $ x = t^2 $:
$$ M = \frac{24(t + 6)}{t^2 - 36} = \frac{24(t + 6)}{(t + 6)(t - 6)} = \frac{24}{t - 6} $$

Để $ M $ là số nguyên lớn nhất, $ t - 6 $ phải là ước của 24. Các ước của 24 là: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24 $.

Lấy các giá trị $ t - 6 $ dương lớn nhất:
$$ t - 6 = 1 \Rightarrow t = 7 \Rightarrow x = 49 $$
$$ t - 6 = 2 \Rightarrow t = 8 \Rightarrow x = 64 $$
$$ t - 6 = 3 \Rightarrow t = 9 \Rightarrow x = 81 $$
$$ t - 6 = 4 \Rightarrow t = 10 \Rightarrow x = 100 $$
$$ t - 6 = 6 \Rightarrow t = 12 \Rightarrow x = 144 $$
$$ t - 6 = 8 \Rightarrow t = 14 \Rightarrow x = 196 $$
$$ t - 6 = 12 \Rightarrow t = 18 \Rightarrow x = 324 $$
$$ t - 6 = 24 \Rightarrow t = 30 \Rightarrow x = 900 $$

Giá trị $ x $ lớn nhất là 900.

Vậy, số nguyên $ x $ để biểu thức $ M $ có giá trị nguyên lớn nhất là $ x = 900 $.