Chứng minh rằng nếu hiệu của hai phân số là một số nguyên khác 0 thì mẫu của hai phân số bằng nhau hoặc đối nhau

Question

Accepted Answer

Giả sử ta có hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, hiệu của chúng là một số nguyên khác 0, tức là $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = k$, trong đó $k$ là một số nguyên khác 0.

Để hiệu của hai phân số là một số nguyên, mẫu số của hai phân số phải giống nhau hoặc đối nhau. Ta sẽ chứng minh điều này qua các trường hợp sau:

1. Mẫu số giống nhau:
   Giả sử $b = d$. Khi đó:
   $$
   \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}
   $$
   Để $\frac{a - c}{b}$ là một số nguyên, $a - c$ phải chia hết cho $b$. Điều này hoàn toàn có thể xảy ra, vì vậy mẫu số giống nhau là một trường hợp có thể.

2. Mẫu số đối nhau:
   Giả sử $b = -d$. Khi đó:
   $$
   \frac{a}{b} - \frac{c}{-b} = \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}
   $$
   Để $\frac{a + c}{b}$ là một số nguyên, $a + c$ phải chia hết cho $b$. Điều này cũng hoàn toàn có thể xảy ra, vì vậy mẫu số đối nhau cũng là một trường hợp có thể.

Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng nếu hiệu của hai phân số là một số nguyên khác 0, thì mẫu số của hai phân số phải giống nhau hoặc đối nhau.

Vậy, ta đã chứng minh rằng nếu hiệu của hai phân số là một số nguyên khác 0 thì mẫu của hai phân số bằng nhau hoặc đối nhau.