Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Đường phân giác của ∠ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E.
a, Biết AB=9cm, BC=15cm. Tính AC.
b,Chứng minh ΔABC đồng dạng với ΔHBA
c, Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh $\frac{EI}{EA}=\frac{EH}{EB}$
d, Chứng minh ∠BIH=∠ACB

Question

Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Đường phân giác của ∠ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E.
a, Biết AB=9cm, BC=15cm. Tính AC.
b,Chứng minh ΔABC đồng dạng với ΔHBA
c, Gọi I  là trung điểm của ED. Chứng minh $\frac{EI}{EA}=\frac{EH}{EB}$
d, Chứng minh ∠BIH=∠ACB

Accepted Answer

a) Ta có: $AB^2 + AC^2 = BC^2$ (theo định lý Pythagoras)
$$9^2 + AC^2 = 15^2$$
$$81 + AC^2 = 225$$
$$AC^2 = 225 - 81$$
$$AC^2 = 144$$
$$AC = 12 \text{ cm}$$

b) Xét ΔABC và ΔHBA:
- ∠BAC = ∠BHA = 90° (vì AH là đường cao)
- ∠ABC chung
Do đó, ΔABC đồng dạng với ΔHBA (g-g)

c) Vì E là giao điểm của đường phân giác của ∠ABC và đường cao AH, nên ta có:
- ∠EBC = ∠EBA (vì BE là đường phân giác của ∠ABC)
- ∠EHB = ∠EAB (vì ΔABC đồng dạng với ΔHBA)

Do đó, ΔEHB đồng dạng với ΔEAB (g-g)
Suy ra: $\frac{EH}{EB} = \frac{EB}{EA}$

Mặt khác, I là trung điểm của ED, nên:
$\frac{EI}{ED} = \frac{1}{2}$

Từ đó, ta có:
$\frac{EI}{EA} = \frac{1}{2} \times \frac{ED}{EA} = \frac{1}{2} \times \frac{EB}{EA} = \frac{EH}{EB}$

d) Ta có:
- ∠BIH = ∠BEH (hai góc so le trong)
- ∠BEH = ∠ACB (vì ΔEHB đồng dạng với ΔEAB)

Do đó, ∠BIH = ∠ACB

Đáp số:
a) AC = 12 cm
b) ΔABC đồng dạng với ΔHBA
c) $\frac{EI}{EA} = \frac{EH}{EB}$
d) ∠BIH = ∠ACB

Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Đường phân giác của ∠ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E. a, Biết AB=9cm, BC=15cm. Tính AC. b,Chứng minh ΔABC đồng dạng với ΔHBA c, Gọi I là trung điểm của ED. Chứng...