Giúp mình với! Bài 31. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: $1

Question

Giúp mình với! Bài 31. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: $1<\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}<2$,Bài 32. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh rằng:,$a)~\frac{a^3}b^3~a^2+ab-b^2$ $b)~\frac{a^3}b+\frac{b^3}c+\frac{c^3}a^3~ab+bc+ca$,$ab+bc+ca<\frac12$,Bài 33. Cho $a+b+c=1.$ Chứng minh rằng,Bài 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $B=|x-2|+|x-3|$,$P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$,Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức,$\frac x{y+z}+\frac y{z+x}+\frac z{x+y}=1$ $S=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}$,Bài 36. Cho Tính,$\frac1x+\frac1y+\frac1z=\sqrt3$,Bài 37. Cho $x,y,z
e0$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và,$P=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}$,Tính giá trị của biểu thức

Accepted Answer

Bài 31. Ta có: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} $$ Trước tiên, ta chứng minh rằng $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} > 1$. Xét tổng: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} $$ Áp dụng bất đẳng thức Nesbitt (được chứng minh bằng phương pháp phân tích): $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $$ Do đó: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} > 1 $$ Tiếp theo, ta chứng minh rằng $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} < 2$. Xét tổng: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} $$ Áp dụng bất đẳng thức Nesbitt (được chứng minh bằng phương pháp phân tích): $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} < 2 $$ Do đó: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} < 2 $$ Từ hai kết quả trên, ta có: $$ 1 < \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} < 2 $$ Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh. Bài 32. Để chứng minh các bất đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và biến đổi biểu thức. Phần a) Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca$ Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân): $$ \frac{\frac{a^3}{b} + ab}{2} \geq \sqrt{\frac{a^3}{b} \cdot ab} = a^2 $$ Tương tự: $$ \frac{\frac{b^3}{c} + bc}{2} \geq b^2 $$ $$ \frac{\frac{c^3}{a} + ca}{2} \geq c^2 $$ Cộng ba bất đẳng thức trên lại: $$ \frac{\frac{a^3}{b} + ab}{2} + \frac{\frac{b^3}{c} + bc}{2} + \frac{\frac{c^3}{a} + ca}{2} \geq a^2 + b^2 + c^2 $$ Nhân cả hai vế với 2: $$ \frac{a^3}{b} + ab + \frac{b^3}{c} + bc + \frac{c^3}{a} + ca \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) $$ Rearrange the terms: $$ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} + ab + bc + ca \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) $$ Do đó: $$ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ca) $$ Vì $2(a^2 + b^2 + c^2) \geq ab + bc + ca$, nên ta có: $$ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca $$ Phần b) Chứng minh rằng: $ab + bc + ca < \frac{1}{2}$ Đây là một bất đẳng thức khác và cần thêm thông tin hoặc giả thiết để chứng minh. Nếu không có thêm thông tin, ta không thể chứng minh được bất đẳng thức này chỉ dựa trên các dữ liệu đã cho. Kết luận Phần a) đã được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM. Phần b) cần thêm thông tin để chứng minh. Bài 33. Để chứng minh rằng $a + b + c = 1$ với điều kiện $a, b, c$ là các số thực, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp. Bước 1: Xác định điều kiện - Ta có $a + b + c = 1$. Bước 2: Chọn một số thực $a$ tùy ý. - Giả sử $a = x$, với $x$ là một số thực bất kỳ. Bước 3: Chọn một số thực $b$ tùy ý. - Giả sử $b = y$, với $y$ là một số thực bất kỳ. Bước 4: Tìm số thực $c$ sao cho $a + b + c = 1$. - Thay $a = x$ và $b = y$ vào phương trình $a + b + c = 1$: $$ x + y + c = 1 $$ - Giải phương trình này để tìm $c$: $$ c = 1 - x - y $$ Bước 5: Kiểm tra lại điều kiện. - Ta đã chọn $a = x$, $b = y$, và $c = 1 - x - y$. - Thay vào phương trình $a + b + c = 1$: $$ x + y + (1 - x - y) = 1 $$ $$ x + y + 1 - x - y = 1 $$ $$ 1 = 1 $$ Như vậy, ta đã chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$, ta luôn có thể tìm được các giá trị $a, b, c$ sao cho điều kiện trên đúng. Đáp số: $a + b + c = 1$ Bài 34. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = |x - 2| + |x - 3|$, ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: $x < 2$ - Khi đó $|x - 2| = 2 - x$ và $|x - 3| = 3 - x$. - Vậy $B = (2 - x) + (3 - x) = 5 - 2x$. - Ta thấy $5 - 2x$ sẽ giảm dần khi $x$ tăng lên, do đó giá trị nhỏ nhất của $B$ trong trường hợp này là khi $x$ gần 2, nhưng không bằng 2. 2. Trường hợp 2: $2 \leq x < 3$ - Khi đó $|x - 2| = x - 2$ và $|x - 3| = 3 - x$. - Vậy $B = (x - 2) + (3 - x) = 1$. - Ta thấy $B = 1$ là một hằng số trong khoảng này. 3. Trường hợp 3: $x \geq 3$ - Khi đó $|x - 2| = x - 2$ và $|x - 3| = x - 3$. - Vậy $B = (x - 2) + (x - 3) = 2x - 5$. - Ta thấy $2x - 5$ sẽ tăng dần khi $x$ tăng lên, do đó giá trị nhỏ nhất của $B$ trong trường hợp này là khi $x$ gần 3, nhưng không bé hơn 3. Từ các trường hợp trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của $B$ là 1, đạt được khi $2 \leq x < 3$. Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $B$ là 1, đạt được khi $2 \leq x < 3$. --- Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$, ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: $x = 0$ - Khi đó $P = \frac{0^2 - 0 + 1}{0^2 + 0 + 1} = 1$. 2. Trường hợp 2: $x \neq 0$ - Ta viết lại $P$ dưới dạng: $$ P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x^2 + x + 1) - 2x}{x^2 + x + 1} = 1 - \frac{2x}{x^2 + x + 1} $$ - Ta thấy $\frac{2x}{x^2 + x + 1}$ luôn dương hoặc âm tùy thuộc vào dấu của $x$. Do đó, $P$ sẽ nhỏ nhất khi $\frac{2x}{x^2 + x + 1}$ lớn nhất. 3. Trường hợp 3: Xét giới hạn của $P$ khi $x$ tiến đến vô cực: - Khi $x$ tiến đến vô cực, $\frac{2x}{x^2 + x + 1}$ tiến đến 0, do đó $P$ tiến đến 1. Từ các trường hợp trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 1, đạt được khi $x = 0$. Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 1, đạt được khi $x = 0$. Bài 35. Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $ S = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} $, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng phân thức trong biểu thức $ S $: $$ \left( \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \right) \left( (y+z) + (z+x) + (x+y) \right) \geq (x + y + z)^2 $$ Bước 2: Tính tổng các mẫu số: $$ (y+z) + (z+x) + (x+y) = 2(x + y + z) $$ Bước 3: Thay vào bất đẳng thức: $$ \left( \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \right) \cdot 2(x + y + z) \geq (x + y + z)^2 $$ Bước 4: Chia cả hai vế cho $ 2(x + y + z) $: $$ \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{(x + y + z)^2}{2(x + y + z)} = \frac{x + y + z}{2} $$ Bước 5: Xét giá trị nhỏ nhất của $ S $: - Nếu $ x = y = z $, ta có: $$ S = \frac{x^2}{2x} + \frac{x^2}{2x} + \frac{x^2}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2} $$ Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ S $ là $ \frac{3}{2} $ khi $ x = y = z $. Bước 6: Xét giá trị lớn nhất của $ S $: - Ta thấy rằng biểu thức $ S $ không bị chặn trên bởi bất kỳ giá trị nào cụ thể, do đó không có giá trị lớn nhất cố định. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của $ S $ là $ \frac{3}{2} $, đạt được khi $ x = y = z $. - Biểu thức $ S $ không có giá trị lớn nhất cố định. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của $ S $ là $ \frac{3}{2} $, đạt được khi $ x = y = z $. Bài 36. Để tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$, ta cần biết giá trị của $x$, $y$, và $z$. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thông tin cụ thể về giá trị của $x$, $y$, và $z$. Do đó, ta cần phải giả sử hoặc tìm hiểu thêm thông tin từ đề bài. Giả sử ta có thêm thông tin rằng $x = y = z = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Ta sẽ thay giá trị này vào biểu thức để tính toán. Biểu thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ trở thành: $$ \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} $$ Ta biết rằng $\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$. Vì vậy, biểu thức trên trở thành: $$ \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $$ Vậy giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ là $3\sqrt{3}$. Đáp số: $3\sqrt{3}$. Bài 37. Để tính giá trị của biểu thức $ P = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} $ khi $ x + y + z = xyz $, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình $ x + y + z = xyz $ với $ \frac{1}{xyz} $: $$ \frac{x + y + z}{xyz} = \frac{xyz}{xyz} $$ $$ \frac{x}{xyz} + \frac{y}{xyz} + \frac{z}{xyz} = 1 $$ $$ \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} = 1 $$ Bước 2: Ta thấy rằng: $$ \left( \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} \right)^2 = 1^2 $$ $$ \left( \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} \right)^2 = 1 $$ Bước 3: Mở rộng bình phương: $$ \left( \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} \right)^2 = \frac{1}{y^2z^2} + \frac{1}{x^2z^2} + \frac{1}{x^2y^2} + 2 \left( \frac{1}{xyz} \right) \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right) $$ Bước 4: Thay $ \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1 $ vào: $$ \left( \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} \right)^2 = \frac{1}{y^2z^2} + \frac{1}{x^2z^2} + \frac{1}{x^2y^2} + 2 \left( \frac{1}{xyz} \right) \cdot 1 $$ $$ 1 = \frac{1}{y^2z^2} + \frac{1}{x^2z^2} + \frac{1}{x^2y^2} + 2 \left( \frac{1}{xyz} \right) $$ Bước 5: Ta biết rằng: $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{1}{y^2z^2} + \frac{1}{x^2z^2} + \frac{1}{x^2y^2} $$ Do đó: $$ 1 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{xyz} \right) $$ Bước 6: Vì $ \frac{1}{xyz} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} $, ta có: $$ 1 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} \right) $$ Bước 7: Ta thấy rằng: $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1 - 2 \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} \right) $$ Bước 8: Vì $ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = \frac{1}{xyz} $, ta có: $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1 - 2 \left( \frac{1}{xyz} \right) $$ Bước 9: Ta đã biết $ \frac{1}{xyz} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} $, do đó: $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1 - 2 \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} \right) $$ Bước 10: Kết luận: $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1 $$ Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là: $$ P = 1 $$